Неинерциальные системы отсчета

К расположенному на тележке штативу с помощью нити подвешен шарик с некоторой массой $m$ (рис. $1$). Во время того, как тележка покоится или движется прямолинейно и равномерно, удерживающая шарик нить, находится в вертикальном положении, а сила тяжести $P$ компенсируется силой натяжения нити $T$.

В условиях, в которых тележка обладает ускорением $a_0$, нить будет отклоняться от вертикали в обратную по отношению к направлению движения сторону до некоторого угла $a$ до тех пор, пока результирующая сила $F=P+T$ не приведет ускорение шарика к ускорению, равному $a_0$. Таким образом, результирующая сила $F$ сонаправлена с ускорением тележки $a_0$ и для установившегося движения шарика (так как теперь он движется вместе с тележкой с ускорением $a_0$) эквивалентна $F=mg·tg \alpha =m{a}_0$, соответственно $tg a=\frac{a_0}{g}$. Выходит, что угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем выше значение ускорения тележки. В системе отсчета, которая связана с ускоренно движущейся тележкой, шарик находится в состоянии покоя. Такое становится возможным, если сила $F$ компенсируется равной и противоположно направленной ей силой $F_{in}$, представляющей собой силу инерции, так как действия на шарик каких-либо других сил эффекта не возымеют.

Рисунок $1$

Следовательно: $F_{in}=-m{a}_0$.

В инерциальной системе отсчета, связанной, к примеру, с помещением, в котором расположен диск, происходит равномерное вращательное движение шарика по окружности с радиусом $R$. Следовательно, на него оказывает воздействие сила, эквивалентная $F=m{\omega }^{2}R$ и направленная ортогонально оси вращения диска. Она представляет собой равнодействующую сил тяжести и натяжения нити $T: F=P+T$. В момент, когда движение шарика установится, $F=mg·tg a=m{\omega }^{2}R$, соответственно: $tg \alpha =\frac{{\omega }^{2}R}{g}$. Таким образом, углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше величины угловой скорости вращения и расстояния $R$ от центра шарика до оси вращения диска. Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно лишь в том случае, если сила $F$ будет скомпенсирована равной и противоположно направленной ей силой $F_c$, представляющей собой силу инерции, так как действия на шарик каких-либо других сил эффекта не возымеют. Сила $F_c$, носящая название центробежной силы инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равняется:

$F_c=-m{a}_0{\omega }^{2}R$.

Пускай шарик массой $m$ совершает движение в условиях постоянной скорости $\upsilon \text{'}$ вдоль радиуса равномерно вращающегося диска

($\upsilon \text{'}=const, \omega =const, \upsilon \text{'}$ортогонально $\omega$). В случае, если диск не начинает вращательное движение, шарик перемещается по радиальной прямой и попадает в точку $А$. Если же диск приводится во вращение в указанном стрелкой направлении, то шарик катится по кривой $OВ$ (рис. $3а$), при этом относительно диска его скорость $\upsilon \text{'}$ меняет свое направление. Такое возможно только в том случае, если на шарик оказывает влияние сила, перпендикулярная скорости $\upsilon \text{'}$.

Рисунок $3$

Чтобы спровоцировать качение шарика по вращательно двигающемуся диску вдоль радиуса, будем применять жестко укрепленный вдоль него стержень, на котором шарик движется без трения прямолинейно и равномерно со скоростью $\upsilon \text{'}$(рис. $3б$).

В случае отклонения шарика стержень воздействует на него некоторой силой $F$. Шарик совершает прямолинейное равномерное движение во вращающейся системе отсчета, то есть относительно диска. Данный факт основывается на том, что сила $F$ компенсируется приложенной к шарику силой инерции $F_k$, ортогональной скорости $\upsilon \text{'}$. Такая сила является кориолисовой силой инерции. Можно сказать, что вектор силы Кориолиса $F_k$ направлен под прямым углом к векторам скорости $\upsilon \text{'}$ объекта и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Давайте рассмотрим пример движения тела в одном из видов неинерциальных систем отсчета. Объект находится в покое на вершине наклонной плоскости.

По прошествии какого времени тело соскользнет с поверхности, если она в момент времени $е=0$ начнет движение влево в горизонтальном направлении с ускорением с $1 м/{с}^2$?

Длина плоскости $1 м$, угол наклона плоскости по отношению к горизонту $30°$, коэффициент трения между телом и плоскостью $0,6$.

Необходимо высчитать время движения тела по наклонной плоскости.

Решение

Систему отсчета будет удобно связать с наклонной плоскостью. Однако плоскость по отношению к Земле находится в состоянии ускоренного движения. Для данного движения Земля представляет собой инерциальную систему отсчета. Выходит, что связанная с наклонной плоскостью система отсчета считается, напротив, неинерциальной, и в уравнение движения тела нужно добавить поступательную силу инерции. На двигающееся тело в связанной с наклонной плоскостью системе отсчета влияют четыре силы: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции $N$, сила трения $F_{тр}$ и поступательная сила инерции ${\overline{F}}_{in}=-m\overline{a}$.

Рисунок $4$

Уравнение движения тела выглядит следующим образом:

$m\overline{a_1}=m\overline{g}+\overline{N}+{\overline{F}}_{тр}+{\overline{F}}_{in}$, где $\overline{a_1}$ - ускорение тела.

Спроецируем это уравнение на ось $X$, направленную вдоль наклонной плоскости, и ортогональную к ней ось $Y$.

$$\begin{gathered} m{a}_1=mg·\sin \alpha -F_{тр}+ma·\cos \alpha , \\ 0=-mg·\cos \alpha +N+ma·\sin \alpha . \end{gathered}$$

Если учитывать, что $F_{тр}=\mu N$, из этой системы уравнений получим:

$a_1=g(\sin \alpha -\mu \cos \alpha )+a(\cos \alpha +\mu \sin \alpha )$.

По причине того, что ускорение $a_1$ не обладает зависимостью от времени, время движения тела по наклонной плоскости будет равняться:

$t=\sqrt{\frac{2l}{a_1}}=\sqrt{\frac{2l}{g(\sin \alpha -\mu \cos \alpha )+a(\cos \alpha +\mu \sin \alpha )}}\approx 0,8 с$

 Ответ: $t=0,8 с$.