Движение центра масс системы

Допустим, что у нас есть некоторая система, состоящая из $n$-ного количества материальных точек. Возьмем одну из них и обозначим ее массу как $mk$. Приложенные к точке внешние силы (как активные силы, так и реакции связей) имеют равнодействующую ${\overline{F_k}}^e$. Внутренние силы имеют равнодействующую ${\overline{F_k}}^l$. Наша система находится в движении, следовательно, нужная точка будет иметь ускорение $\overline{a_k}$. Зная основной закон динамики, мы можем записать следующую формулу:

$m_k\overline{a_k}={\overline{F_k}}^e+{\overline{F_k}}^l$.

Ее можно применить к любой точке системы. Значит, для всей системы целиком можно сформулировать следующие уравнения:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{r}{m}_1\overline{a_1}={\overline{F_1}}^e+{\overline{F_1}}^l,\\ m_2\overline{a_2}={\overline{F_2}}^e+{\overline{F_2}}^l, \\ \cdots \\ {m}_n\overline{a_n}={\overline{F_n}}^e+{\overline{F_n}}^l.\end{array}\right\} \end{gathered}$$

Данная формула состоит из дифференциальных уравнений, описывающих движение системы в векторной форме. Если мы спроецируем эти равенства на соответствующие координатные оси, то у нас получатся дифференциальные уравнения движения в проекциях. Но в конкретных задачах чаще всего вычислять движение каждой точки системы не требуется: можно ограничиться характеристиками движения всей системы в целом.

Движение центра масс: основная теорема

Характер движения системы можно определить, зная закон, по которому движется ее центр масс.

Для нахождения этого закона нам нужно взять уравнения движения системы, приведенные в предыдущем пункте, и сложить их правые и левые части. У нас получится, что:

$\sum _{}{m}_k\overline{a_k}=\sum _{}{\overline{F_k}}^e+\sum _{}{\overline{F_k}}^l$.

Взяв формулу радиус-вектора центра масс, получим следующее:

$\sum _{}{m}_k\overline{r_k}=M\overline{r_c}$.

Теперь возьмем вторую производную по времени:

$\sum _{}{m}_k\overline{a_k}=M\overline{a_c}$.

Здесь буквой $\overline{a_c}$ обозначено ускорение, которое приобретает центр масс системы.

Возьмем полученное выше уравнение и спроецируем его правую и левую части на соответствующие координатные оси. У нас получится:

$M\ddot{x_c}=\sum _{}{\overline{F_{kx}}}^e, M\ddot{y_c}=\sum _{}{\overline{F_{ky}}}^e, M\ddot{z_c}=\sum _{}{\overline{F_{kz}}}^e$.

Эти равенства являются дифференциальными уравнениями движения центра масс в проекции на оси в декартовой системе координат.

Практическое значение теоремы о движении центра масс

Данная теорема имеет большую практическую ценность. Поясним, в чем именно она заключается.

Разберем пример применения теоремы для решения практической задачи.