Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Закон распределения молекул по скоростям

Содержание:

Определение 1

С помощью закона распределения молекул по скоростям мы можем описать, как именно в макроскопической системе происходит распределение частиц (при условии ее нахождения в термодинамическом равновесии). Такое распределение называется стационарным, и воздействия внешних сил на систему при этом не происходит.

Данный закон распространяется как на жидкости, так и на газы, если на них действуют законы классической механики. Если мы знаем, как именно распределяются молекулы по своим скоростям, значит, мы можем ответить, какой объем молекул имеет определенную скорость в условиях заданной температуры в равновесном состоянии.

Чтобы лучше объяснить данный вопрос, начнем с введения такого понятия, как пространство скоростей. Оно изображено схематически на рисунке 1.

Закон распределения молекул по скоростям

Рисунок 1

Мы видим, что в декартовой системе координат здесь отмечены именно проекции скоростей, а не координаты. Тогда исходный вопрос можно переформулировать так: "Как именно будут распределяться молекулы в пространстве скоростей"?

Очевидно, что данное распределение не будет равномерным. Если в пространстве мы выделим параллелепипед, имеющий объем dω=dυxdυydυz, то в нем окажется dNυ молекул. Обозначим буквой N число молекул газа, тогда f(v) будет некоторой функцией скорости.

Распределение Максвелла

Поскольку, как мы уже отмечали, газ находится в равновесном состоянии, то направления движений частиц являются равноправными. Значит, допустимо считать, что в пространстве скоростей распределение молекул является симметричным и имеет сферическую форму.

Распределение Максвелла

Рисунок 2

Определим, из скольких молекул состоит шаровой слой dυ. Разделим найденное выше число на количество частиц (N) и получим вероятность dWυ того, что пределы модуля скорости молекулы равны υ - υ+dv.

Здесь F(v) является функцией распределения вероятности значения v. Впервые данная функция теоретически была получена Д. Максвеллом.

Определение 2

Таким образом, закон распределения молекул по модулям скоростей имеет следующий вид:

dNυ=N4πm02πkT32exp-m0υ22kTυ2dυ.

Здесь υ=υx2+υy2+υz2, масса молекулы равна m0, а k – постоянная Больцмана.

По проекциям скоростей распределение Максвелла может быть записано так:

dN=Nfυxfυyfυzdυxdυydυz.

Важно учесть, что:

fυi=m02πkT12exp-m0υi22kT (i=x,y,z).

Параметры υx, υy, υz означают проекции скоростей молекул на оси координат.

Также возможен следующий вариант записи распределения Максвелла:

dN=N4πυver3exp-υυver2υ2dυ.

Здесь υυer обозначает наиболее вероятную скорость движения молекулы.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Как выглядит распределение Максвелла на графике

Кривая распределения молекул по скоростям на графике выглядит так:

Как выглядит распределение Максвелла на графике

Рисунок 3

При этом доля тех молекул, которые движутся со скоростями в интервале от υ до υ+dυ будет пропорциональна площади dS, которая на графике обозначена штриховкой.

Определение 3

Скорости всех молекул принадлежат интервалу от нуля до плюс бесконечности, значит, будет верным равенство:

0f(υ)dυ=1.

Оно называется условием нормировки функции распределения.

Следовательно, распределение Максвелла по скоростям имеет зависимость от температуры газа и массы его молекул. Объем и давление можно не учитывать.

Пример 1

Условие: вычислите, какова будет наиболее вероятная скорость молекул газа при температуре Т в равновесном состоянии.

Решение

Нам потребуется распределение Максвелла (распределение по модулям скоростей).

dNυ=N4πm02πkT32exp-m0υ22kTυ2dυ.

Максимум функции будет соответствовать самой вероятной скорости. Дифференциация выражения по скорости и сравнение ее с нулем даст нам следующий результат:

dNυdυ=N4πm02πkT322υυerexp-m0υυer22kT-υυer2m02υυer2kTexp-m0υυer22kT=0;

2υυer-υυer2m02υυer2kT=01-υυer2m02kT=0υυer2=2kTm0.

υυer=2kTm0.

Ответ: наиболее вероятно, что скорость газа будет равна υυer=2kTm0.

Пример 2

Условие: изобразите кривые распределения скоростей молекул газа при росте температуры Т.

Решение

Возьмем формулу наиболее вероятной скорости из предыдущей задачи.

υυer=2kTm0

Понятно, что чем больше будет температура, тем выше будет скорость молекул, т.е. произойдет смещение максимума в сторону больших скоростей. Поскольку площадь под кривой распределения является постоянной величиной, кривые на графике будут показаны следующим образом:

Как выглядит распределение Максвелла на графике

Рисунок 4

Пример 3

Условие: дан график функции, по которой молекулы будут распределяться с учетом проекций скорости υx. Сопоставьте количества молекул, проекции скорости которых будут принадлежать интервалам от нуля до υx1 и от υx1 до υx2.

Как выглядит распределение Максвелла на графике

Рисунок 5

Решение

Как мы уже указывали ранее, доля молекул газа, скорости которых лежат в первом интервале, будет пропорциональна площади фигуры, образуемой кривой распределения, вертикальной осью 0 1NdNdυx и вертикальным пунктиром, перпендикулярным оси проекций. Во втором интервале нужная доля будет пропорциональна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и вертикальной прямой, параллельной оси ох и проходящей через точку υx1. Очевидно, что площадь первой фигуры будет меньше площади второй. Значит, и молекул, проекции скоростей которых лежат в первом интервале, будет меньше, чем во втором.

Ответ: молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от 0 до υx1 меньше, чем молекул, имеющих проекции скорости в интервалах: от υx1 до υx2.

Навигация по статьям

Выполненные работы по физике
  • Физика

    Математические основы физики

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      4 мая 2017 г.

    • Стоимость:

      4 900 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Атомная физика Изотопы Применение радиоактивных изотопов

    • Вид работы:

      Реферат

    • Выполнена:

      3 мая 2017 г.

    • Стоимость:

      500 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Определение напряженности электрического поля на оси заряженного кольца

    • Вид работы:

      Лабораторная работа

    • Выполнена:

      23 сентября 2017 г.

    • Стоимость:

      800 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Формирование универсальных учебных действий на уроках физики в основной школе

    • Вид работы:

      Дипломная

    • Выполнена:

      15 ноября 2013 г.

    • Стоимость:

      4 800 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Атомный реактор

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      23 октября 2015 г.

    • Стоимость:

      1 000 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    "Электромагнитная индукция. Электромагнитные колебания и волны"

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 января 2018 г.

    • Стоимость:

      4 700 руб

    Заказать такую же работу
  • Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!