Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Поток вектора магнитной индукции

    Определение 1

    Магнитный поток Φ через площадку S (поток вектора магнитной индукции) – это скалярная величина:

    Φ=BScos α=BnS=BS с углом между n и B, обозначаемым α, n является нормалью к площадке S.

    Формула магнитного потока

    Φ равняется количеству линий магнитной индукции, пересекающих площадку S, как показано на рисунке 1. Поток магнитной индукции по формуле принимает положительные и отрицательные значения. Его знак зависит от выбора положительного направления нормали к площадке S. Зачастую положительное направление нормали связано с направлением обхода контура током. За такое направление берут поступательное перемещение правого винта во время его вращения по току.

    Формула магнитного потока

    Рисунок 1

    В чем измеряется магнитный поток

    В случае неоднородности магнитного поля S не будет плоской, а плоскость может быть разбита на элементарные площадки dS, рассматриваемые в качестве плоских, поле которых также считается однородным. Определение магнитного потока dΦ производится через эту поверхность. Запись примет вид:

    dΦ=BdScos α=BdS.

    Нахождение полного потока через поверхность S:

    Φ=SBdScos α=SBdS.

    Основной единицей измерения магнитного потока в системе СИ считаются веберы (Вб). 1 Вб=1 Тл1 м2.

    Связь магнитного потока и работы сил магнитного поля

    Элементарная работа δA, совершаемая силами магнитного поля, выражается через элементарное изменение потока вектора магнитной индукции dΦ:

    δA=IdΦ.

    Если проводник с током совершает конечное перемещение, сила тока постоянна, то работа сил поля равняется:

    A=IΦ2-Φ1 с Φ1, обозначаемым потоком через контур в начале перемещения, Φ2 является  потоком через контур в конце перемещения.

    Теорема Гаусса для магнитного поля

    Значение суммарного магнитного потока через замкнутую поверхность S равняется нулю:

    BdS=0.

    Выражение BdS=0 является справедливым для любых магнитных полей. Данное уравнение считается аналогом теоремы Остроградского-Гаусса в электростатике в вакууме:

    EdS=qε0.

    Запись BdS=0 говорит о том, что источник магнитного поля – это не магнитные заряды, а электрические токи.

    Пример 1

    Дан бесконечно длинный прямой проводник с током I, недалеко от которого имеется квадратная рамка. По ней проходит ток с силой I'. Сторона рамки равна a. Она располагается в одной плоскости с проводом, как показано на рисунке 2. Значение расстояния от ближайшей стороны рамки до проводника равняется b. Найти работу магнитной силы при удалении рамки из поля. Считать токи постоянными.

    Теорема Гаусса для магнитного поля

    Рисунок 2

    Решение

    Индукция магнитного поля длинного проводника с током в части, где расположена квадратная рамка, направляется на нас.

    Следует учитывать нахождение рамки с током в неоднородном поле, что означает убывание магнитной индукции при удалении от провода.

    За основу возьмем формулу магнитного потока и работы, которая их связывает:

    A=I'Φ2-Φ1 (1.1), где I' принимают за силу тока в рамке, Φ1 – за поток через квадратную рамку при расстоянии от ее стороны к проводу равняющимся b. Φ2=0. Это объясняется тем, что конечное положение рамки вне магнитного поля, как дано по условию. Отсюда следует, запись формулы (1.1) изменится:

    A=-I'Φ1 (1.2).

    Перейдем к нормали n и выберем ее направление к квадратному контуру относительно нас, используя правило правого винта. Отсюда следует, что для всех элементов поверхности, ограниченной при помощи контура квадратной рамки, угол между нормалью n и вектором B равняется π. Запись формулы потока через поверхность рамки на расстоянии х от провода примет вид:

    dΦ=-BdS=-B·a·dx=-μ02πIldxx (1.3), значение индукции магнитного поля бесконечно длинного проводника с током силы I будет:

    B=μ02πxIl (1.4).

    Отсюда следует, что для нахождения всего потока из (1.3) потребуется:

    Φ1=S-μ02πIldxx=-μ02πIlbb+adxx=-μ02πIl·lnb+ab (1.5).

    Произведем подстановку формулы (1.5) в (1.2). Искомая работа равняется:

    A=I'μ02πIl·lnb+ab.

    Ответ: A=μ02πII'l·lnb+ab.

    Пример 2

    Найти силу, действующую на рамку, из предыдущего примера.

    Решение

    Для нахождения искомой силы, действующей на квадратную рамку с током в поле длинного провода, предположим, что под воздействием магнитной силы рамка смещается на незначительное расстояние dx. Это говорит о совершении силой работы, равной:

    δA=Fdx (2.1).

    Элементарная работа δA может быть выражена как:

    δA=I'dΦ (2.2).

    Произведем то же с силой, применяя формулы (2.1), (2.2). Получаем:

    Fdx=I'dΦF=I'dΦdx (2.3).

    Используем выражение, которое было получено в примере 1:

    dΦ=-μ02πIldxxdΦdx=-μ02πIlx (2.4).

    Произведем подстановку dΦdx в (2.3). Имеем:

    F=I'μ02πIlx (2.5).

    Каждый элемент контура квадратной рамки находится под воздействием сил (силы Ампера). Отсюда следует, что на рамку действует 4 силы, причем на стороны AB и DC равные по модулю и противоположные по направлению. Выражение принимает вид:

    FAB+FDC=0 (2.6), то есть их сумма равняется нулю. Тогда значение результирующей силы, приложенной к контуру, запишется:

    F=FAD+FBC (2.6).

    Используя правило левой руки, получаем направление этих сил вдоль одной прямой в противоположные стороны:

    F=FAD-FBC (2.7).

    Произведем поиск силы FAD, действующей на сторону AD, применив формулу (2.5), где x=b:

    FAD=I'м02πIlb (2.8).

    Значение FBC будет:

    FBC=I'μ02πIlb+a (2.9).

    Для нахождения искомой силы:

    F=I'μ02πIlb-I'μ02πIlb+a=II'μ0l2π1b-1b+a.

    Ответ: F=II'μ0l2π1b-1b+a. Магнитные силы выталкивают рамку с током до тех пор, пока она находится в первоначальной ориентации относительно поля провода.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (11 голосов)