Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

RLC-контур. Свободные колебания

Содержание:

RLC-контур

Кроме как в механических системах, к примеру, в таких, маятник или же грузило на пружине, свободные колебания могут возникать также и в электрических цепях, самым простым примером чего может послужить последовательный RLC-контур, изображенный на рис. 2.2.1.

RLC-контур

Рисунок 2.2.1. Последовательный RLC-контур.

Находясь в положении 1, ключ К позволяет источнику зарядить конденсатор до некоего напряжения δ. Процесс разрядки ранее заряженного конденсатора провоцируется переключением ключа К во второе положение и происходит через катушку индуктивности L и резистор R. При выполнении определенных условий данный процесс может приобретать характер колебательного.

Для не содержащей внешнего источника тока замкнутой RLC-цепи закон Ома представляет из себя выражение:

JR+U=-LdJdt.

В данной формуле U=qC – напряжение на конденсаторе, q является обозначением заряда конденсатора, а J=dqdt – ток в цепи. Правой частью соотношения является выражение ЭДС самоиндукции катушки. В случае, когда заряд конденсатора q (t) берется как переменная величина, описывающее свободные колебания в RLC-контуре уравнение может быть приведено к виду:

q··+RLq·+1LCq=0.

Для начала рассмотрим такую ситуацию, в которой электромагнитные потери энергии в контуре равны нулю. В таком случае:

q··+ω02q=0.

Примем обозначение ω02=1LC. Данным чуть выше уравнением описывается процесс незатухающих свободных колебаний в LC- контуре. Внешне оно полностью эквивалентно уравнению свободных колебаний груза на пружине в условиях отсутствующих сил трения. Аналогичный свободным механическим и электрическим колебаниям процесс изображен на рисунке 2.2.2. На данной иллюстрации приводятся графики зависимости заряда смещения x (t) груза и q (t) конденсатора от положения равновесия, а также графики изменений тока J (t) и скорости груза υ (t) за период T=2πω0 колебаний.

RLC-контур

Рисунок 2.2.2. Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.

Сделать заключение о некой связи между механическими и электрическими величинами нам позволяет сопоставление процессов в электрическом колебательном контуре и свободных колебаний груза на пружине. Данные аналогии показаны в таблице.

Электрические величины Механические величины
Заряд конденсатора q (t) Координата x(t)
Ток в цепи J=dqdt Скорость ν=dxdt
Индуктивность L Масса m
Величина, обратная электроемкости 1C Жесткость k
Напряжение на конденсаторе U=qC Упругая сила kx
Энергия электрического поля конденсатора q22C Потенциальная энергия пружины kx22
Магнитная энергия катушки LI22 Кинетическая энергия mν22
Магнитный поток LI Импульс mυ

Свободные колебания

Определение 1

Свободные колебания в электрическом контуре носят название гармонических при условии отсутствия затухания.

Такие колебания происходят по закону:

q(t)=q0 cos(ωt+φ0).

Параметры L и C колебательного контура определяют лишь собственную частоту свободных колебаний:

ω0=1LC

Определение 2

«Начальными условиями», определяющими амплитуду q0 и начальную фазу φ0, называют тот способ, при помощи которого систему вывели из равновесия.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример 1

Например, для процесса колебаний, который начнется в контуре, изображенном на рисунке 2.2.1, после перевода ключа K в второе положение, q0=Cδ, φ0=0.

Процесс свободных колебаниях провоцирует повторяющееся превращение запасенной в конденсаторе электрической энергии Wэ в магнитную энергию катушки Wм и наоборот. В ситуации, когда потери энергии равны нулю, полная электромагнитная энергия системы не претерпевает изменений:

W=Wэ+Wм=q22C+LJ22=const

Однако любой реально существующий контур, в отличие от идеального, включает в себя некоторое сопротивление R. По этой причине, процесс свободных колебаний в подобном контуре не подчиняется гармоническому закону. Запасенная в контуре энергия с каждым периодом колебаний теряется, превращаясь в джоулево тепло, из-за чего колебания становятся затухающими (рис. 2.2.3).

Свободные колебания

Рисунок 2.2.3. Затухающие колебания в контуре.

Затухающие колебания в электрическом контуре сравнимы с затухающими колебаниями груза на пружине в условиях существующего вязкого трения, при котором сила трения меняет свое значение прямо пропорционально скорости тела: Fтр=βυ.

В данной формуле сопротивление R электрического контура аналогично коэффициенту β. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания принимает следующий вид:

q··+2δq·+ω02q=0

Определение 3

Коэффициентом затухания называется физическая величина δ=R2L.

Следующая функция представляет собой решение приведенного выше дифференциального уравнения:

q(t)=q0e-δtcos (ωt+φ0),

Также она содержит описывающий затухание колебаний множитель exp (δt). Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура.

Определение 4

Интервал времени τ=1δ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e2,7 раза, называется временем затухания.

Понятие добротности Q колебательной системы: 

Q=πN=πτT,

где N является числом полных колебаний, которые совершает система за время затухания τ.

Определение 5

Любая добротность Q, относящаяся к колебательной системе, которая способна совершать свободные колебания, имеет следующее энергетическое определение: 

Q=2πЗапас энергии в колебательной системеПотеря энергии за 1 период

Добротность Q, принадлежащая RLC-контуру, выражают формулой: 

Q=1RLC

Добротность электрических контуров, которые применяются в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Стоит обратить внимание на то, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не самой высокой добротностью несколько уступает собственной частоте ω0 идеального контура с такими же значениями L и C. Однако при Q(5÷10) данным различием можно пренебречь.

Свободные колебания

Рисунок 2.2.4. Модель свободных колебаний в RLC-контуре.

Навигация по статьям

Выполненные работы по физике
  • Физика

    КР Физика горных пород

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      20 мая 2017 г.

    • Стоимость:

      2 700 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Изучение физической природы деформации тел в школе

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      21 ноября 2015 г.

    • Стоимость:

      900 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Организация технической эксплуатации электрооборудования узловой распределительной подстанции

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      31 января 2018 г.

    • Стоимость:

      900 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Ресторан французской кухни на 52 места

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      3 марта 2018 г.

    • Стоимость:

      1 100 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Сенсоры электромагнитных излучений на основе полупроводниковых структур

    • Вид работы:

      Реферат

    • Выполнена:

      31 мая 2017 г.

    • Стоимость:

      400 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Проводники непроводники полупроводники

    • Вид работы:

      Реферат

    • Выполнена:

      18 апреля 2017 г.

    • Стоимость:

      400 руб

    Заказать такую же работу
  • Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!