Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Умножение многочлена на многочлен: правило, примеры

Содержание:

Одним из действий с многочленами является умножение многочлена на многочлен. В данной статье рассмотрим правило такого умножения и применим его при решении задач.

Правило умножения многочлена на многочлен

Зададим два многочлена a+b и c+d и выполним их умножение.

В первую очередь запишем произведение исходных многочленов: поставим между ними знак умножения, предварительно заключив многочлены в скобки. Получим: (a+b)·(c+d). Теперь обозначим множитель (c+d) как x, тогда выражение получит вид: (a+b)·x, что по сути является произведением многочлена и одночлена. Осуществим умножение: (a+b)·x=a·x+b·x, а затем обратно заменим х на (c+d): a·(c+d)+b·(c+d). И вновь применив правило умножения многочлена на одночлен, преобразуем выражение в: a·c+a·d+b·c+b·d. Резюмируя: произведению заданных многочленов a+b и c+d соответствует равенство (a+b)·(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d.

Рассуждения, которые мы привели выше, дают возможность сделать важные выводы:

  1. Результат умножения многочлена на многочлен - многочлен. Данное утверждение справедливо для любых перемножаемых многочленов.
  2. Произведение многочленов есть сумма произведений каждого члена одного многочлена на каждый член другого. Откуда можно сделать заключение, что при умножении многочленов, содержащих m и n членов соответственно, указанная сумма произведений членов состоит из m·n слагаемых.

Теперь можем сформулировать правило умножения многочленов:

Определение 1

Для осуществления умножения многочлена на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и найти сумму полученных произведений.

Примеры умножения многочлена на многочлен

В практическом решении задач нахождение произведения многочленов раскладывается на несколько последовательных действий:

  • запись произведения умножаемых многочленов (многочлены заключаются в скобки и между ними записывается знак умножения);
  • выстраивание суммы произведений каждого члена первого многочлена на каждый член второго. С этой целью первый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена, затем второй член первого многочлена перемножается с каждым членом второго многочлена и так далее;
  • если это возможно, полученная сумма записывается в виде многочлена стандартного вида.
Пример 1

Заданы многочлены: 23·x и x27·x+1. Необходимо найти их произведение.

Решение

Запишем произведение исходных многочленов. Получим: (23·x)·(x27·x+1).

Следующим шагом составим сумму произведений каждого члена многочлена 23·x на каждый член многочлена x27·x+1. Рассмотрим подробно: умножаем первый член первого многочлена (число 2) на каждый член второго многочлена, получим: 2·x2, 2·(7·x) и 2·1. Затем умножаем второй член первого многочлена на каждый член второго многочлена и получаем: 3·x·x2, 3·x·(7·x) и 3·x·1. Все полученные выражения собираем в сумму: 2·x2+2·(7·x)+2·13·x·x23·x·(7·x)3·x·1.

Проверим, не пропустили ли мы произведение каких-либо членов: для этого пересчитаем количество членов в записанной сумме, получим 6. Это верно, поскольку исходные многочлены состоят из 2 и 3 членов, что в общем дает 6.

Последним действием преобразуем записанную сумму в многочлен стандартного вида: 2·x2+2·(7·x)+2·13·x·x23·x·(7·x)3·x·1==2·x214·x+23·x3+21·x23·x==(2·x2+21·x2)+(14·x3·x)+23·x3=23·x217·x+23·x3

Кратко без пояснений решение будет выглядеть так:

(23·x)·(x27·x+1)=2·x2+2·(7·x)+2·13·x·x23·x·(7·x)3·x·1==2·x214·x+23·x3+21·x23·x==(2·x2+21·x2)+(14·x3·x)+23·x3=23·x217·x+23·x3

Ответ: (23·x)·(x27·x+1)=23·x217·x+23·x3.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Уточним, что, когда исходные многочлены заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду. Результат, конечно, будет тот же, но решение станет удобнее и короче.

Пример 2

Заданы многочлены 17·x2·(-3)·y+3·x-27·x·y·x и x·y1. Необходимо найти их произведение.

Решение

Один из заданных многочленов записан в нестандартном виде. Исправим это, приведя его к стандартному виду:

17·x2·(-3)·y+3·x-27·x·y·x=-37·x2+3·x-27·x2·y==-37·x2·y-27·x2·y+3·x=-57·x2·y+3·x

Теперь найдем искомое произведение:

-57·x2·y+3·x·x·y-1==-57·x2·y·x·y-57·x2·y·(-1)+3·x·x·y+3·x·(-1)==-57·x3·y2+57·x2·y+3·x2·y-3·x=-57·x3·y2+357·x2·y-3·x

Ответ:  -57·x2·y+3·x·x·y-1=-57·x3·y2+357·x2·y-3·x

Напоследок проясним ситуацию, в которой есть необходимость перемножить три и более многочленов.  В этом случае нахождение произведения сводится к последовательному перемножению многочленов по два: т.е. сначала перемножаются первые два многочлена; полученный результат умножается на третий многочлен; итог этого умножения – на четвертый многочлен и так далее.

Пример 3

Заданы многочлены: x2+x·y1, x+y и 2·y3. Необходимо найти их произведение.

Решение

Сделаем запись произведения: (x2+x·y1)·(x+y)·(2·y3).

Перемножим первые два многочлена, получим: (x2+x·y1)·(x+y)=x2·x+x2·y+x·y·x+x·y·y1·x1·y==x3+2·x2·y+x·y2xy.

Первоначальная запись произведения принимает вид: (x2+x·y1)·(x+y)·(2·y3)=(x3+2·x2·y+x·y2xy)·(2·y3).

Найдем результат этого умножения:

(x3+2·x2·y+x·y2xy)·(2·y3)==x3·2·y+x3·(3)+2·x2·y·2·y+2·x2·y·(3)+x·y2·2·y++x·y2·(3)x·2·yx·(3)y·2·yy·(3)==2·x3·y3·x3+4·x2·y26·x2·y+2·x·y3-3·x·y22·x·y+3·x2·y2+3·y

Ответ:

(x2+x·y1)·(x+y)·(2·y3)=2·x3·y3·x3+4·x2·y26·x2·y++2·x·y33·x·y22·x·y+3·x2·y2+3·y

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!