Тождества: определение, обозначение, примеры

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Начнем разговор о тождествах, дадим определение понятия, введем обозначения, рассмотрим примеры тождеств.

Что представляет собой тождество

Начнем с определения понятия тождества.

Определение 1

Тождество представляет собой равенство, которое верно при любых значениях переменных. Фактически, тождеством является любое числовое равенство.

По мере разбора темы мы можем уточнять и дополнять данное определение. Например, если вспомнить понятия допустимых значений переменных и ОДЗ, то определение тождества можно дать следующим образом.

Определение 2

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

Про любые значения переменных при определении тождества речь идет в пособиях и учебниках по математике для $7$ класса, так как школьная программа для семиклассников предполагает проведение действий исключительно с целыми выражениями (одно- и многочленами). Они имеют смысл при любых значениях переменных, которые входят в их состав.

Программа $8$ класса расширяется за счет рассмотрения выражений, которые имеют смысл только для значений переменных из ОДЗ. В связи с этим и определение тождества меняется. Фактически, тождество становится частным случаем равенства, так как не каждое равенство является тождеством.

Знак тождества

Запись равенства предполагает наличие знака равенства $« = »$ , от которого справа и слева располагаются некоторые числа или выражения. Знак тождества имеет вид трех параллельных линий $« \equiv »$ . Он также носит название знака тождественного равенства.

Обычно запись тождества ничем не отличается от записи обыкновенного равенства. Знак тождества может быть применен для того, чтобы подчеркнуть, что перед нами не простое равенство, а тождество.

Примеры тождеств

Обратимся к примерам.

Пример 1

Числовые равенства $2 \equiv 2$ и $- \sqrt{3} \equiv - \sqrt{3}$ это примеры тождеств. Согласно определению, данному выше, любое верное числовое равенство по определению является тождеством, а приведенные равенства верные. Их также можно записать следующим образом $2 \equiv 2$ и $- \sqrt{3} \equiv - \sqrt{3}$ .

Пример 2

Равенства $2 + 3 = 5$ и $7 - 1 = 2 \cdot 3$ также можно считать тождествами, так как они являются вернными. Здесь также допустима запись $2 + 3 \equiv 5$ и $7 - 1 \equiv 2 \cdot 3$ .

Тождества могут содержать не только числа, но также и переменные.

Пример 3

Возьмем равенство $3 \cdot (x + 1) = 3 \cdot x + 3$ . Это равенство является верным при любом значении переменной $x$ . Подтверждает сей факт распределительное свойство умножения относительно сложения. Это значит, что приведенное равенство является тождеством.

Пример 4

Возьмем тождество $y \cdot (x - 1) \equiv (x - 1) \cdot x : x \cdot y^{2} : y$ . Рассмотрим область допустимых значений переменных $x$ и $y$ . Это любые числа, кроме нуля.

Пример 5

Возьмем равенства $x + 1 = x - 1, a + 2 \cdot b = b + 2 \cdot а$ и $| x | = x$ . Существует ряд значений переменных, при которых эти равенства неверны. Например, при при $x = 2$ равенство $x + 1 = x - 1$ обращается в неверное равенство $2 + 1 = 2 - 1$ . Да и вообще, равенство $x + 1 = x - 1$ не достигается ни при каких значениях переменной $x$ .

Во втором случае равенство $a + 2 \cdot b = b + 2$ ·a неверно в любых случаях, когда переменные $a$ и $b$ имеют различные значения. Возьмем $a = 0$ и $b = 1$ и получим неверное равенство $0 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 \cdot 0$ .

Равенство, в котором $| x |$ - модуль переменной $x$ , также не является тождеством, так как оно неверно для отрицательных значений $x$ .

Это значит, что приведенные равенства не являются тождествами.

Пример 6

Если вспомнить тригонометрию и логарифмы, то здесь мы также можем найти примеры тождеств. Это основное логарифмическое тождество $a^{\log_{a} b} = b$ и основное тригонометрическое тождество вида $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

В математике мы постоянно имеем дело с тождествами. Делая записи действий, производимых с числами, мы работаем с тождествами. Тождествами являются записи свойств степеней, свойств корней и прочие.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.