Порядок выполнения действий, правила, примеры

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Когда мы работаем с различными математическими выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий: деление и умножение, сложение и вычитание степеней и др. Когда нужно сделать расчет и преобразование или вычитание значение, очень важно соблюдать правильную очередность или расстановку этих действий. Другими словами, действия в арифметике имеют свой особый порядок выполнения. Порядок действий в математике и для любого математика крайне важен.

В этой не слишком длинной и сложной статье мы расскажем, какие действия должны делаться математически в первую очередь, а какие после (к примеру, сначала идет деление или умножение). Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения или символы, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения (к примеру, пять плюс ноль равно пять). Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует решать эти примеры по действиям. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах по действиям, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Порядок вычисления простых выражений

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

Все действия выполняются слева направо.
Сперва мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение (нужно прибавлять). Теперь понятен ответ на вопрос, что первое деление или умножение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности этого двойного правила несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро получить проверочные результаты.

Пример с прибавлением и вычитанием 1

Условие: вычислите, сколько будет $7 - 3 + 6$ .

Решение

В нашем выражении или высказывании, которое обычно решают средние классы, скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Вначале делаем минус три из семи, затем делаем плюс к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

$7 - 3 + 6 = 4 + 6 = 10$

Ответ: $7 - 3 + 6 = 10$ .

Пример на умножение и деление 2

Условие: в каком порядке будут выполняться вычисления в выражении $6 : 2 \cdot 8 : 3$ ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, что делается первым деление или умножение, перечитаем правило для выражений без кавычек (скобок), сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок того, что нужно вычесть, и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет $17 - 5 \cdot 6 : 3 - 2 + 4 : 2$ .

Решение

Сначала определим верный порядок действий (приоритетность), поскольку у нас здесь есть все основные компоненты арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо делить и перемножать. Что сначала деление или умножение? Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке слева направо. То есть $5$ надо умножить на $6$ и получить $30$ , потом $30$ разделить на $3$ и получить $10$ . После этого делим $4$ на $2$ , это $2$ . Подставим найденные значения в исходное выражение:

$17 - 5 \cdot 6 : 3 - 2 + 4 : 2 = 17 - 10 - 2 + 2$

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

$17 - 10 - 2 + 2 = 7 - 2 + 2 = 5 + 2 = 7$

Ответ: $17 - 5 \cdot 6 : 3 - 2 + 4 : 2 = 7$ .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно расставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Порядок вычисления простых выражений .

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся действия, где нужно вычитать и слагать, а ко второй – умножать и делить.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Решение примеров по действиям в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример или образец задачи 4

Условие: вычислите, сколько будет равно $5 + (7 - 2 \cdot 3) \cdot (6 - 4) : 2$ .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет $7 - 2 \cdot 3$ . Здесь нам надо умножить $2$ на $3$ и вычесть результат из $7$ :

$7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: $6 - 4 = 2$ .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

$5 + (7 - 2 \cdot 3) \cdot (6 - 4) : 2 = 5 + 1 \cdot 2 : 2$

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

$5 + 1 \cdot 2 : 2 = 5 + 2 : 2 = 5 + 1 = 6$

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: $5 + (7 - 2 \cdot 3) \cdot (6 - 4) : 2 = 6$ .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такое задание.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет $4 + (3 + 1 + 4 \cdot (2 + 3))$ .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с $3 + 1 + 4 \cdot (2 + 3)$ , а именно с $2 + 3$ . Это будет $5$ . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что $3 + 1 + 4 \cdot 5$ . Мы помним, что сначала надо умножать, а потом слагать: $3 + 1 + 4 \cdot 5 = 3 + 1 + 20 = 24$ . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: $4 + 24 = 28$ .

Ответ: $4 + (3 + 1 + 4 \cdot (2 + 3)) = 28$ .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет $(4 + (4 + (4 - 6 : 2)) - 1) - 1$ . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку $4 - 6 : 2 = 4 - 3 = 1$ , исходное выражение можно записать как $(4 + (4 + 1) - 1) - 1$ . Снова обращаемся к внутренним скобкам: $4 + 1 = 5$ . Мы пришли к выражению $(4 + 5 - 1) - 1$ . Считаем $4 + 5 - 1 = 8$ и в итоге получаем разность $8 - 1$ , результатом которой будет $7$ .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет $(3 + 1) \cdot 2 + 6^{2} : 3 - 7$ .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: $6^{2} = 36$ . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид $(3 + 1) \cdot 2 + 36 : 3 - 7$ .

Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание (слагаемое и вычитаемое).

$(3 + 1) \cdot 2 + 36 : 3 - 7 = 4 \cdot 2 + 36 : 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13$

Ответ: $(3 + 1) \cdot 2 + 6^{2} : 3 - 7 = 13$ .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.