Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов

После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся  ее находить, поработаем с его коэффициентами.

Многочлен и его члены – определения и примеры

Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.

Рассмотрим еще определения.

Рассмотрим такой пример, где имеем многочлен $3·x^4-2·x·y+3-y^3$, состоящий из 4 членов: $3·x^4$, $-2·x·y$, $3$ и $-y^3$. Такой одночлен можно считать многочленом, который состоит из одного члена.

Отсюда следует, что выражение вида $x+y$ – является двучленом, а выражение $2·x^3·q-q·x·x+7·b$ – трехчленом.

По школьной программе работали с линейным двучленом вида $a·x+b$, где $а$ и $b$ являются некоторыми числами, а $х$ – переменной. Рассмотрим примеры линейных двучленов вида: $x+1$, $x·7$,$2-4$ с примерами квадратных трехчленов $x^2+3·x-5$ и  $\frac{2}{5}·x^2-3x+11$.

Для преобразования и решения необходимо находить и приводить подобные слагаемые. Например, многочлен вида $1+5·x-3+y+2·x$ имеет подобные слагаемые $1$ и $-3$, $5х$ и $2х$. Их подразделяют в особую группу под названием подобных членов многочлена.

В примере, приведенном выше, имеем, что $1$ и $-3$, $5х$ и $2х$ являются подобными членами многочлена или подобными слагаемыми. Для того, что бы упростить выражение, применяют нахождение  и приведение подобных слагаемых.

Многочлен стандартного вида

У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.

Из определения видно, что возможно приведение многочленов стандартного вида, например, $3·x^2-x·y+1$ и __formula__, причем запись в стандартном виде. Выражения $5+3·x^2-x^2+2·x·z$ и $5+3·x^2-x^2+2·x·z$ многочленами стандартного вида не является, так как первый из них имеет подобные слагаемые в виде $3·x^2$и $-x^2$,  а второй содержит одночлен вида $x·y^3·x·z^2$, отличающийся от  стандартного многочлена.

Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.

Степень многочлена – как ее найти?

Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.

Рассмотрим на примере. Степень многочлена $5·x^3-4$ равняется $3$, потому как одночлены, входящие в его состав, имеют степени $3$ и $0$, а большее из них $3$ соответственно. Определение степени из многочлена $4·x^2·y^3-5·x^4·y+6·x$ равняется наибольшему из  чисел, то есть $2+3=5$, $4+1=5$ и $1$, значит $5$.

Следует выяснить, каким образом находится сама степень.

Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.

Коэффициенты членов многочлена

При рассмотрении примера видно, что многочлен вида $2·x-0,5·x·y+3·x+7$ имеет в  своем составе $4$ многочлена: $2·x$, $-0,5·x·y$, $3·x$ и $7$ с соответствующими их коэффициентами $2$, $-0,5$, $3$ и $7$. Значит, $2$, $-0,5$, $3$ и $7$ считаются коэффициентами членов заданного многочлена вида $2·x-0,5·x·y+3·x+7$. При преобразовании важно обращать внимание на коэффициенты, стоящие перед переменными.