Деление многочленов

Найти остаток при делении $27$ на $4$.

Решение

Необходимо произвести деление столбиком, тогда получим, что

Значит, $\frac{27}{4}=целая часть+\frac{остаток}{знаменатель}=6+\frac{3}{4}$

Ответ: остаток $3$.

Произвести выделение целых частей $\frac{331}{12}$ и $\frac{41}{57}$.

Решение

Производим деление знаменателя на числитель при помощи уголка:

Производим деление далее и получаем, что

Поэтому имеем, что $\frac{331}{12}=27+\frac{7}{12}$.

Вторая дробь является правильной, значит, целая часть равняется нулю.

Ответ: целые части $27$ и $0$.

Произвести деление $x^9+7x^7-\frac{3}{2}{x}^3-\sqrt{2}$ на одночлен $2x^2$.

Решение

Воспользовавшись свойством деления, запишем, что

$$\begin{gathered} \frac{x^9+7x^7-\frac{3}{2}{x}^3-\sqrt{2}}{2x^2}=\frac{x^9}{2x^2}+\frac{7x^7}{2x^2}-\frac{{\displaystyle \frac{3}{2}{x}^3}}{2x^2}+\frac{x^2}{2x^2}-\frac{\sqrt{2}}{2x^2}= \\ =\frac{1}{2}{x}^7+\frac{7}{2}{x}^5-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}{x}^{-2} \end{gathered}$$.

Произвести деление многочлена на многочлен: $2x^3+3$ на $x^3+x$.

Решение

Знак деления можно записать в виде дроби вида $\frac{2x^3+3}{x^3+x}$. Теперь необходимо выделить целую часть. Производим это при помощи деления столбиком. Получаем, что

Значит, получаем, что целая часть имеет значение $-2x+3$, тогда все выражение записывается как $\frac{2x^3+3}{x^3+x}=2+\frac{-2x+3}{x^3+x}$

Разделить и найти остаток от деления $2x^6-x^5+12x^3-72x^2+3$ на $x^3+2x^2-1$.

Решение

Зафиксируем дробь вида $\frac{2x^6-x^5+12x^3-72x^2+3}{x^3+2x^2-1}$.

Степень числителя больше, чем у знаменателя, значит, что у нас имеется неправильная дробь. При помощи деления столбиком выдели целую часть. Получаем, что

Произведем деление еще раз и получим:

Отсюда имеем, что остаток равняется $-65x^2+10x-3$, отсюда следует:

$\frac{2x^6-x^5+12x^3-72x^2+3}{x^3+2x^2-1}=2x3-5x2+10x-6+\frac{-65x^2+10x-3}{x^3+2x^2-1}$

Произвести деление $8x^3+36x^2+54x+27$ на $2x+3$.

Решение

Запишем деление в виде дроби. Получим, что $\frac{8x^3+36x^2+54x+27}{2x+3}$. Заметим, что в числителе выражение  можно сложить по формуле куба суммы. Имеем, что

$\frac{8x^3+36x^2+54x+27}{2x+3}=\frac{(2x+3{)}^3}{2x+3}=(2x+3{)}^2=4x^2+12x+9$

Заданный многочлен делится без остатка.

Для решения используется более удобный метод решения, причем деление многочлена на многочлен считается максимально универсальным, поэтому часто используемым при выделении целой части. Итоговая запись должна содержать полученный многочлен от деления.