Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Компланарные векторы и условие компланарности

Содержание:

В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:

  • определение компланарных векторов;
  • условия компланарности векторов;
  • примеры задач на компланарность векторов.

Определение компланарных векторов

Определение 1

Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости. 

Примечание

Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.

Условия компланарности векторов

  • Для 3-х векторов выполняется условие: если смешанное произведение 3-х векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
  • Для 3-х векторов выполняется условие: если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
  • Для n-векторов выполняется условие: если среди векторов не более 2-х линейно независимых векторов, то они компланарны.

Примеры решения задач на компланарность векторов

Пример 1

Исследуем на компланарность векторы

a¯=(1;2;3), b=(1;1;1) и c¯=(1;2;1)

Как решить?

Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:

(a¯,b¯,c¯)=123111121==1×1×1+1×2×3+2×1×1-1×1×3-2×1×1-1×2×1=20

Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.

Ответ: векторы не являются компланарными.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Пример 2

Докажем, что три вектора

a¯=(1;-1;2), b=(0;1;-1) и c¯=(2;-2;4) компланарны.

Как решить?

Находим смешанное произведение данных векторов:

(a¯,b¯,c¯)=1-1201-12-24==1×1×4+0×(-2)×2+(-1)×(-1)××2-2×1×2-(-2)×(-1)×1-0×(-1)

Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.

Ответ: векторы являются компланарными. 

Пример 3

Проверим, компланарны ли векторы

a¯={1;1;1}, b¯={1;2;0), c¯={0;-1;1}, d¯={3;3;3}.

Как решить?

Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:

1111200-11333~

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:

1111-12-10-10-113-33-33-3~11101-10-11000~

К 3-ей строке прибавляем 2-ю:

11101-10+0-1+11+(-1)3-33-33-3~11101-1000000

Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.

Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора. 

 

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!