Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

В данной статье рассмотрены формулы произведения синусов, косинусов, а также формулы произведения синуса на косинус. Допустим, есть необходимость вычислить произведение синусов или косинусов углов $\alpha$ и $\beta$. Формулы произведения позволяют перейти от произведения к сумме или разности синусов и косинусов углов $\alpha + \beta$ и $\alpha - \beta$.

Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

1. Произведение синусов углов $\alpha$ и $\beta$ равно полуразности косинуса угла $\alpha - \beta$ и косинуса угла $\alpha + \beta$.
2. Произведение косинусов углов $\alpha$ и $\beta$ равно полусумме косинуса угла $\alpha - \beta$ и косинуса угла $\alpha + \beta$.
3. Произведение синуса угла $\alpha$ на косинус угла $\beta$ равно полусумме синуса угла $\alpha - \beta$ и синуса угла $\alpha + \beta$.

Вывод формул

Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$\cos \; ( \; \alpha \; + \; \beta \; ) = \cos \alpha · \cos \beta - \sin \alpha · \sin \beta \cos \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) = \cos \alpha · \cos \beta + \sin \alpha · \sin \beta$

Сложим эти равенства и получим:

$\cos \; ( \; \alpha \; + \; \beta \; ) + \cos \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) = \cos \alpha · \cos \beta - \sin \alpha · \sin \beta + \cos \alpha · \cos \beta + \sin \alpha · \sin \beta \cos \; ( \; \alpha \; + \; \beta \; ) + \cos \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) = 2 · \cos \alpha · \cos \beta$

Отсюда

$\cos \alpha · \cos \beta = \frac{1}{2} \; ( \; \cos \; \; \; \; ( \; \; \alpha \; \; + \; \; \beta \; \; ) \; \; + \; \cos \; \; \; \; ( \; \; \alpha \; \; - \; \; \beta \; \; ) \; \; )$

Формула произведения косинусов доказана.

Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

$- \cos ( \alpha + \beta ) = - \cos \alpha · \cos \beta + \sin \alpha · \sin \beta$

Добавим к равенству формулу $\cos \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) = \cos \alpha · \cos \beta + \sin \alpha · \sin \beta$.

Получим:

$- \cos ( \alpha + \beta ) + \cos \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) = - \cos \alpha · \cos \beta + \sin \alpha · \sin \beta + \cos \alpha · \cos \beta + \sin \alpha · \sin \beta - \cos ( \alpha + \beta ) + \cos \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) = 2 · \sin \alpha · \sin \beta \sin \alpha · \sin \beta = \frac{1}{2} ( \cos \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) - \cos ( \alpha + \beta ) )$

Таким образом, выведена формула произведения синусов.

Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

$\sin \; ( \; \alpha \; + \; \beta \; ) = \sin \alpha · \cos \beta + \cos \alpha · \sin \beta \sin \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) = \sin \alpha · \cos \beta - \cos \alpha · \sin \beta \sin \; ( \; \alpha \; + \; \beta \; ) + \sin \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) = \sin \alpha · \cos \beta + \cos \alpha · \sin \beta + \sin \alpha · \cos \beta - \cos \alpha · \sin \beta \sin \; ( \; \alpha \; + \; \beta \; ) + \sin \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) = 2 \sin \alpha · \cos \beta \sin \alpha · \cos \beta = \frac{1}{2} ( \sin \; ( \; \alpha \; + \; \beta \; ) + \sin \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) )$

Формула произведения синуса на косинус выведена.

Примеры использования

Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач. 

Пусть $\alpha = 60 \; ° , \beta = 30 \; °$. Возьмем формулу произведения синусов и подставим в нее конкретные значения.

$\sin \alpha · \sin \beta = \frac{1}{2} ( \cos \; ( \; \alpha \; - \; \beta \; ) - \cos \; ( \; \alpha \; + \; \beta \; ) ) \sin 60 \; ° · \sin 30 \; ° = \frac{1}{2} ( \cos \; ( \; 60 \; \; \; ° \; \; - \; 30 \; \; \; ° \; \; ) - \cos \; ( \; 60 \; \; \; ° \; \; + \; 30 \; \; \; ° \; \; ) ) \sin 60 \; ° · \sin 30 \; ° = \frac{1}{2} ( \cos \; \left( \; 30 \; \; \; ° \; \; \right) - \cos \; \left( \; 90 \; \; \; ° \; \; \right) ) \sin 60 \; ° · \sin 30 \; ° = \frac{1}{2} ( \frac{\sqrt{ \; \; 3 \; }}{2} - 0 ) = \frac{\sqrt{ \; \; 3 \; }}{4}$

Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

$\sin 60 \; ° · \sin 30 \; ° = \frac{\sqrt{ \; \; 3 \; }}{2} · \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{ \; \; 3 \; }}{4}$.

 Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.