Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

В данной статье рассмотрены формулы произведения синусов, косинусов, а также формулы произведения синуса на косинус. Допустим, есть необходимость вычислить произведение синусов или косинусов углов $α$ и $β$ . Формулы произведения позволяют перейти от произведения к сумме или разности синусов и косинусов углов $α + β$ и $α - β$ .

Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

Произведение синусов углов $α$ и $β$ равно полуразности косинуса угла $α - β$ и косинуса угла $α + β$ .
Произведение косинусов углов $α$ и $β$ равно полусумме косинуса угла $α - β$ и косинуса угла $α + β$ .
Произведение синуса угла $α$ на косинус угла $β$ равно полусумме синуса угла $α - β$ и синуса угла $α + β$ .

Формулы произведения

Для любых $α$ и $β$ справедливы формулы

$\sin α \cdot \sin β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) - \cos (α + β))$ ;
$\cos α \cdot \cos β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) + \cos (α + β))$ ;
$\sin α \cdot \cos β = \frac{1}{2} (\sin (α - β) + \sin (α + β))$ .

Вывод формул

Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$\cos (α + β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β \cos (α - β) = \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β$

Сложим эти равенства и получим:

$\cos (α + β) + \cos (α - β) = \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β + \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β \cos (α + β) + \cos (α - β) = 2 \cdot \cos α \cdot \cos β$

Отсюда

$\cos α \cdot \cos β = \frac{1}{2} (\cos (α + β) + \cos (α - β))$

Формула произведения косинусов доказана.

Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

$- \cos (α + β) = - \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β$

Добавим к равенству формулу $\cos (α - β) = \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β$ .

Получим:

$- \cos (α + β) + \cos (α - β) = - \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β + \cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β - \cos (α + β) + \cos (α - β) = 2 \cdot \sin α \cdot \sin β \sin α \cdot \sin β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) - \cos (α + β))$

Таким образом, выведена формула произведения синусов.

Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

$\sin (α + β) = \sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β \sin (α - β) = \sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β \sin (α + β) + \sin (α - β) = \sin α \cdot \cos β + \cos α \cdot \sin β + \sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β \sin (α + β) + \sin (α - β) = 2 \sin α \cdot \cos β \sin α \cdot \cos β = \frac{1}{2} (\sin (α + β) + \sin (α - β))$

Формула произведения синуса на косинус выведена.

Примеры использования

Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач.

Пусть $α = 60 °, β = 30 °$ . Возьмем формулу произведения синусов и подставим в нее конкретные значения.

$\sin α \cdot \sin β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) - \cos (α + β)) \sin 60 ° \cdot \sin 30 ° = \frac{1}{2} (\cos (60 ° - 30 °) - \cos (60 ° + 30 °)) \sin 60 ° \cdot \sin 30 ° = \frac{1}{2} (\cos (30 °) - \cos (90 °)) \sin 60 ° \cdot \sin 30 ° = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

$\sin 60 ° \cdot \sin 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

Формулы произведения

Нужно $\sin 75 °$ умножить на $\cos 15 °$ и вычислить точное значение произведения.

Мы не располагаем точными значениями синуса и косинуса данных углов, однако можем вычислить точное значение произведения $\sin 75 ° \cdot \cos 15 °$ c помощью формулы произведения синуса на косинус.

$\sin 75 ° \cdot \cos 15 ° = \frac{1}{2} (\sin (75 ° - 15 °) + \sin (75 ° + 15 °)) \sin 75 ° \cdot \cos 15 ° = \frac{1}{2} (\sin 60 ° + \sin 90 °) = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) = \frac{\sqrt{3} + 2}{4}$

Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.