Основные формулы с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом

Формулы с обратными тригонометрическими функциями: arcsin, arccos, arctg и arcctg

Ранее мы рассматривали обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Как и в случае с другими функциями, между ними существуют связи и зависимости, реализуемые в виде формул, которые можно использовать для решения задач.

Сейчас мы будем рассматривать основные формулы с использованием этих функций: какие они бывают, на какие группы их можно разделить, как их доказать и как решать задачи с их помощью.

Формулы котангенса арккотангенса, тангенса арктангенса, синуса арксинуса и косинуса арккосинуса

Для начала сгруппируем формулы, в которых содержатся основные свойства обратных тригонометрических функций. Мы уже обсуждали и доказывали их ранее, а здесь приведем, чтобы логика объяснения была более понятной и все формулы были в одной статье.

$д л я \alpha \in \; [ \; - \; 1 \; , \; 1 \; ] \sin ( a r c c i s \alpha ) = \alpha , \cos ( a r c \cos \alpha ) = \alpha , д л я \alpha \in ( - \mathrm{\infty } , \mathrm{\infty } ) t g ( a r c t g \alpha ) = \alpha , c t g ( a r c c t g \alpha ) = \alpha$

Указанное в них легко сформулировать из самих определений обратных тригонометрических функций числа. Если вы забыли, как найти, например, тангенс арктангенса, все можно посмотреть в этой формуле.

Формулы арккотангенса котангенса, арктангенса тангенса и арксинуса синуса и арккосинуса косинуса

$д л я - \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2} a r c \sin ( \sin \alpha ) = \alpha , д л я 0 \le \alpha \le \pi \arccos ( \cos \alpha ) = \alpha , д л я - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2} a r c t g ( t g \alpha ) = \alpha , д л я 0 < \alpha < \pi a r c c t g ( c t g \alpha ) = \alpha$

Здесь все также более-менее очевидно, как и в предыдущем пункте: эти формулы можно вывести из определений арксинуса, арккосинуса и др. Единственное, на что нужно обратить пристальное внимание: они будут верны только в том случае, если a (число или угол) будут входить в указанный предел. В противном случае расчет по формуле будет ошибочен, и применять ее нельзя.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке мы сформулируем важное утверждение:

$д л я \alpha \in \; [ \; - \; 1 \; , \; 1 \; ] a r c c i s ( - \alpha ) = - a r c \sin \alpha , a r c \cos ( - \alpha ) = \pi - a r c \cos \alpha , д л я \alpha \in ( - \mathrm{\infty } , \mathrm{\infty } ) a r c t g ( - \alpha ) = - a r c t g \alpha , a r c c t g ( - \alpha ) = \pi - a r c c t g \alpha$

Таким образом, если в расчетах нам встречаются эти функции для отрицательных чисел, мы можем от них избавиться, преобразовав их в аркфункции положительных чисел, с которыми иметь дело проще.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят следующим образом:

$д л я \alpha \in \; [ \; - \; 1 \; , \; 1 \; ] a r c c i s \alpha + a r c \cos \alpha = \frac{\pi }{2} , д л я \alpha \in ( - \mathrm{\infty } , \mathrm{\infty } ) a r c t g \alpha + a r c c t g \alpha = \frac{\pi }{2}$

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести с помощью его арккосинуса, и наоборот. С арктангенсом и арккотангенсом аналогично – они соотносятся между собой аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

Знать связи между прямыми функциями и их аркфункциями очень важно для решения многих практических задач. Как же быть, если у нас есть необходимость вычислить, к примеру, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно выписать себе.

Теперь разберем примеры, как они применяются в задачах.

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы разбирали это.

Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Для того, чтобы наглядно вывести полученные формулы, нам понадобятся основные тригонометрические тождества и собственно формулы основных обратных функций - косинуса арккосинуса и др. Мы их уже выводили ранее, поэтому тратить время на их доказательства не будем. Начнем сразу с формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса. Используя тождество, получим:

${\sin }^{ \; \; 2 \; } \alpha + {\cos }^{ \; \; 2 \; } \alpha = 11 + c t g^{ \; \; 2 \; } \alpha = \frac{1}{ \; \; {\sin }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; \; \; \alpha \; }$

Вспомним, что $t g \alpha · c t g \alpha = 1$. Из этого можно получить:

$\sin \alpha = \sqrt{ \; 1 \; - \; {\cos }^{ \; \; \; 2 \; \; } \; \; \alpha } , 0 \le \alpha \le \pi \sin \alpha = \frac{ \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; t \; \; g^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; \alpha \; }} , - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2} \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; c \; \; t \; \; g^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; \alpha \; }} , 0 < \alpha < \pi$

У нас получилось, что мы выразили синус через необходимые аркфункции при заданном условии.

Теперь в первой формуле вместо a мы добавим arccos a. Итог - формула синуса арккосинуса.

Далее во вторую вместо a ставим arctg a. Это формула синуса арктангенса.

Аналогично с третьей – если мы добавим в нее arcctg a, будет формула синуса арктангенса.

Все наши расчеты можно сформулировать более емко:

1. $\sin \alpha = \sqrt{ \; 1 \; - \; {\cos }^{ \; \; \; 2 \; \; } \; \; \alpha } , 0 \le \alpha \le \pi$

Следовательно, $\sin ( a r c \cos \alpha ) = \sqrt{ \; 1 \; - \; {\cos }^{ \; \; \; 2 \; \; } \; \; ( \; a \; r \; c \; \cos \; \; \alpha \; ) } = \sqrt{ \; 1 \; - \; a^{ \; \; \; 2 \; \; } }$

2. $\sin \alpha = \frac{ \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; }} , - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}$,

Следовательно, $\sin ( a r c t g \alpha ) = \frac{ \; \; t \; \; g \; \; ( \; \; a \; \; r \; \; c \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; \; ) \; }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; t \; \; g^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; ( \; \; a \; \; r \; \; c \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; \; ) \; }} = \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }}$

3. $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; c \; \; t \; \; g^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; \alpha \; }} , 0 < \alpha < \pi$

Следовательно, $\sin ( a r c t g \alpha ) = \frac{1}{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; t \; \; g^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; ( \; \; a \; \; r \; \; c \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; \; ) \; }} = \frac{1}{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }}$

Выводим формулы косинуса арксинуса, косинуса арктангенса и косинуса арккотангенса.

Их мы выведем по имеющемуся шаблону:

1. Из $\cos \alpha = \sqrt{ \; 1 \; - \; {\sin }^{ \; \; \; 2 \; \; } \; \; \alpha } , - \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}$ следует, что

$\cos ( a r c \sin \alpha ) = \sqrt{ \; 1 \; - \; {\sin }^{ \; \; \; 2 \; \; } \; \; ( \; a \; r \; c \; \sin \; \; \alpha \; ) } = \sqrt{ \; 1 \; - \; a^{ \; \; \; 2 \; \; } }$

2. Из $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; t \; \; g^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; \alpha \; }} , - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}$ следует, что
3. Из $\cos \alpha = \frac{ \; \; c \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; }{ \; \; \sqrt{ \; \; \; 1 \; \; \; + \; \; } \; \; c \; \; t \; \; g^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; \alpha \; } , 0 < \alpha < \pi \cos ( a r c t g \alpha ) = \frac{1}{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; t \; \; g^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; ( \; \; a \; \; r \; \; c \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; \; ) \; }} = \frac{1}{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }}$

следует, что $\cos ( a r c t g \alpha ) = \frac{ \; \; c \; \; t \; \; g \; \; ( \; \; a \; \; r \; \; c \; \; c \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; \; ) \; }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; c \; \; t \; \; g^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; ( \; \; a \; \; r \; \; c \; \; c \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; \; ) \; }} = \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }}$

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

1. Исходим из $t g \alpha = \frac{ \; \; \sin \; \; \; \; \alpha \; }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\sin }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; \; \; \alpha \; }} , - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}$. Получаем $t g ( a r c \sin \alpha ) = \frac{ \; \; \sin \; \; \; \; ( \; \; a \; \; r \; \; c \; \; \sin \; \; \; \; \alpha \; \; ) \; }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\sin }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; \; \; ( \; \; a \; \; r \; \; c \; \; \sin \; \; \; \; \alpha \; \; ) \; }} = \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }}$ при условии, что $- 1 < \alpha < 1$.
2. Исходим из $t g \alpha = \frac{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\cos }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; \; \; \alpha \; }}{ \; \; \cos \; \; \; \; \alpha \; } , \alpha \in [ 0 , \frac{\pi }{2} ) \cup ( \frac{\pi }{2} , \pi ]$, получаем

$t g ( a r c \cos \alpha ) = \frac{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\cos }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; \; \; ( \; \; a \; \; r \; \; c \; \; \cos \; \; \; \; \alpha \; \; ) \; }}{ \; \; \cos \; \; \; \; ( \; \; a \; \; r \; \; c \; \; c \; \; o \; \; s \; \; \alpha \; \; ) \; } = \frac{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }}{\alpha }$ при условии $\alpha \in ( - 1 , 0 ) \cup ( 0 , 1 )$.

3. Исходим из $t g \alpha = \frac{1}{ \; \; c \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; } , \alpha \in ( 0 , \frac{\pi }{2} ) \cup ( \frac{\pi }{2} , \pi )$, получаем $t g ( a r c c t g \alpha ) = \frac{1}{ \; \; c \; \; t \; \; g \; \; ( \; \; a \; \; r \; \; c \; \; c \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; \; ) \; } = \frac{1}{\alpha }$ при условии, что $\alpha \ne 0$.

Теперь нам нужны формулы котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомним одно из тригонометрических равенств:

$c t g \alpha = \frac{1}{ \; \; t \; \; g \; \; \alpha \; }$

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы тангенса арксинуса, тангенса арккосинуса и тангенса арктангенса. Для этого понадобится поменять в них местами числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали между собой прямые и обратные тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связать и одни обратные функции с другими, то есть выразить одни аркфункции через другие аркфункции. Разберем примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно, и получить искомую формулу:

$a r c \sin \alpha = \; \{ \; \begin{array}{l} \; \; \; \; \; \; \; \; \; a \; \; \; \; r \; \; \; \; c \; \; \; \; \cos \; \; \; \; \; \; \; \; \sqrt{ \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; - \; \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; } \; \; \; \; , \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \le \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; \le \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; - \; \; \; \; a \; \; \; \; r \; \; \; \; c \; \; \; \; \cos \; \; \; \; \; \; \; \; \sqrt{ \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; - \; \; \; \; \; a^{ \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; } \; \; \; \; , \; \; \; \; - \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \le \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; < \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \; \; \end{array} \; a r c \sin \alpha = a r c t g \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }} , - 1 < \alpha < 1 a r c \sin \alpha = \; \{ \; \begin{array}{l} \; \; \; \; \; \; \; \; \; a \; \; \; \; r \; \; \; \; c \; \; \; \; c \; \; \; \; t \; \; \; \; g \; \; \; \; \frac{\sqrt{ \; \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \; - \; \; \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; \; }}{\alpha } \; \; \; \; , \; \; \; \; 0 \; \; \; \; < \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; \le \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; a \; \; \; \; r \; \; \; \; c \; \; \; \; c \; \; \; \; t \; \; \; \; g \; \; \; \; \frac{\sqrt{ \; \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \; - \; \; \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; \; }}{\alpha } \; \; \; \; - \; \; \; \; \pi \; \; \; \; , \; \; \; \; - \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \le \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; \le \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \; \; \end{array} \;$

А так мы выразим арккосинус через остальные обратные функции:

$a r c \cos \alpha = \; \{ \; \begin{array}{l} \; \; \; \; \; \; \; \; \; a \; \; \; \; r \; \; \; \; c \; \; \; \; \sin \; \; \; \; \; \; \; \; \sqrt{ \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; - \; \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; } \; \; \; \; , \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \le \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; \le \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \pi \; \; \; \; - \; \; \; \; \arcsin \; \; \; \; \; \; \; \; \sqrt{ \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; - \; \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; } \; \; \; \; , \; \; \; \; - \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \le \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; < \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \; \; \end{array} \; a r c \cos \alpha = \; \{ \; \begin{array}{l} \; \; \; \; \; \; \; \; \; a \; \; \; \; r \; \; \; \; c \; \; \; \; t \; \; \; \; g \; \; \; \; \frac{\sqrt{ \; \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \; - \; \; \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; \; }}{\alpha } \; \; \; \; , \; \; \; \; 0 \; \; \; \; < \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; \le \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \pi \; \; \; \; + \; \; \; \; a \; \; \; \; r \; \; \; \; c \; \; \; \; t \; \; \; \; g \; \; \; \; \frac{\sqrt{ \; \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \; - \; \; \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; \; }}{\alpha } \; \; \; \; , \; \; \; \; - \; \; \; \; 1 \; \; \; \; < \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; < \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \; \; \end{array} \; \arccos \alpha = a r c c t g \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }} , - 1 < \alpha < 1$

Формула выражения арктангенса:

$a r c t g \alpha = a r c \sin \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }} , - \mathrm{\infty } < \alpha < + \mathrm{\infty } a r c t g \alpha = \; \{ \; \begin{array}{l} \; \; \; \; \; \; \; \; \; a \; \; \; \; r \; \; \; \; c \; \; \; \; \cos \; \; \; \; \; \; \; \; \frac{1}{\sqrt{ \; \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \; + \; \; \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; \; }} \; \; \; \; , \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; \ge \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \; \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; - \; \; \; \; a \; \; \; \; r \; \; \; \; c \; \; \; \; \cos \; \; \; \; \; \; \; \; \frac{1}{\sqrt{ \; \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \; + \; \; \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; \; }} \; \; \; \; , \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; < \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \; \; \end{array} \; a r c t g \alpha = a r c c t g \frac{1}{\alpha } , \alpha \ne 0$

Последняя часть – выражение арккотангенса через другие обратные функции:

$a r c c t g \alpha = \; \{ \; \begin{array}{l} \; \; \; \; \; \; \; \; \; a \; \; \; \; r \; \; \; \; c \; \; \; \; \sin \; \; \; \; \; \; \; \; \frac{1}{\sqrt{ \; \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \; + \; \; \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; \; }} \; \; \; \; , \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; \ge \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \; \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \pi \; \; \; \; - \; \; \; \; a \; \; \; \; r \; \; \; \; c \; \; \; \; \sin \; \; \; \; \; \; \; \; \frac{1}{\sqrt{ \; \; \; \; \; \; 1 \; \; \; \; \; \; + \; \; \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; \; \; } \; \; \; \; \; }} \; \; \; \; , \; \; \; \; \alpha \; \; \; \; < \; \; \; \; 0 \; \; \; \; \; \; \end{array} \; a r c c t g \alpha = a r c \cos \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }} , - \mathrm{\infty } < \alpha < + \mathrm{\infty } a r c c t g \alpha = a r c t g \frac{1}{\alpha } , \alpha \ne 0$

Теперь попробуем доказать их, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенных формул.

Возьмём $a r c \sin \alpha = a r c t g \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }} , - 1 < \alpha < 1$ и постараемся вывести доказательство.

Мы знаем, что $a r c t g \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }}$ - это число, величина которого составляет от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса арктангенса получим:

$\sin ( a r c t g \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }} ) = \frac{\frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; \; 1 \; \; \; - \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; } \; \; }}}{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; ( \; \; \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; \; \; 1 \; \; \; \; - \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; } \; \; \; }} \; \; {)}^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }} = \frac{\frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; \; 1 \; \; \; - \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; } \; \; }}}{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; \frac{{\alpha }^{ \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; }}{ \; \; \; \; 1 \; \; \; \; - \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; } \; \; \; } \; }} = \frac{\frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; \; 1 \; \; \; - \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; } \; \; }}}{\sqrt{ \; \; 1 \; \; + \; \; \frac{{\alpha }^{ \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; }}{ \; \; \; \; 1 \; \; \; \; - \; \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; \; } \; \; \; } \; }} = \frac{\frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; \; 1 \; \; \; - \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; } \; \; }}}{\frac{1}{\sqrt{ \; \; \; 1 \; \; \; - \; \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; } \; \; }}} = \alpha$

Получается, что $a r c t g \frac{\alpha }{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; {\alpha }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }}$ при условии $1 < a < 1$ – это и есть арксинус числа $a$.

Вывод: $a r c \sin a = a r c t g \frac{a}{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; a^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; }} , - 1 < a < 1$

Прочие формулы доказываются по аналогии.

В завершение разберем один пример применения формул на практике.

Прочие формулы с обратными функциями

Мы рассмотрели самые основные формулы, которые понадобятся вам при решении задач. Однако это не все формулы с аркфункциями: есть и ряд других, специфичных, которые употребляются нечасто, но все же их знание может быть полезно. Запоминать их особого смысла нет: проще вывести их тогда, когда они нужны.

Разберем одну из них, называемую формулой половинного угла. Она выглядит следующим образом:

${\sin }^{ \; \; 2 \; } \frac{\alpha }{2} = \frac{ \; \; 1 \; \; - \; \; \cos \; \; \; \; \alpha \; }{2}$

Если угол альфа при этом больше нуля, но меньше числа пи, то у нас выходит:

$\sin \frac{\alpha }{2} = \sqrt{ \; \frac{ \; \; \; 1 \; \; \; - \; \; \; \cos \; \; \; \; \; \; \alpha \; \; }{2} }$

Учитывая данное условие, заменяем упомянутый угол на arccos. В итоге наша предварительная формула выглядит так:

$\sin \frac{ \; \; a \; \; r \; \; c \; \; \cos \; \; \; \; \alpha \; }{2} = \sqrt{ \; \frac{ \; \; \; 1 \; \; \; - \; \; \; \cos \; \; \; \; \; \; ( \; \; \; a \; \; \; r \; \; \; c \; \; \; \cos \; \; \; \; \; \; \alpha \; \; \; ) \; \; }{2} } \iff \sin \frac{ \; \; a \; \; r \; \; c \; \; \cos \; \; \; \; \alpha \; }{2} = \frac{\sqrt{ \; \; 1 \; \; - \; \; \alpha \; }}{2}$

Отсюда мы выводим итоговую формулу, в которой арксинус выведен через арккосинус:

$\frac{ \; \; a \; \; r \; \; c \; \; \cos \; \; \; \; \alpha \; }{2} = a r c \sin \sqrt{ \; \frac{ \; \; \; 1 \; \; \; - \; \; \; \alpha \; \; }{2} }$

Мы перечислили не все связи, которые имеются между обратными тригонометрическими функциями, а лишь наиболее употребляемые из них. Важно подчеркнуть, что ценность имеют не столько сами сложные формулы, что мы привели в статье: заучивать их наизусть не нужно. Гораздо важнее уметь самому делать нужные преобразования, и тогда сложные вычисления не потребуется хранить в голове.

В продолжение темы в следующей статье мы рассмотрим преобразование выражений с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом.