Понятие неравенства, связанные определения

Неравенство – обратная сторона равенства. Материал данной статьи дает определение неравенства и начальную информацию о нем в разрезе математики.

Определение неравенства

Понятие неравенства, как и понятие равенства, связывается с моментом сравнения двух объектов. В то время как равенство означает «одинаковы», то неравенство, напротив, свидетельствует о различиях объектов, которые сравниваются. К примеру, и - одинаковые объекты или равные. и - объекты, отличающиеся друг от друга или неравные.

Неравенство объектов определяется по смысловой нагрузке такими словами, как выше – ниже (неравенство по признаку высоты); толще – тоньше (неравенство по признаку толщины); длиннее – короче (неравенство по признаку длины) и так далее.

Возможно рассуждать как о равенстве-неравенстве объектов в целом, так и о сравнении их отдельных характеристик. Допустим, заданы два объекта: и Определение неравенства . Без сомнений, эти объекты не являются одинаковыми, т.е. в целом они не равны: по признаку размера и цвета. Но, в то же время, мы можем утверждать, что равны их формы – оба объекта являются кругами.

В контексте математики смысловая нагрузка неравенства сохраняется. Однако, в этом случае речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений величин (длина, площадь и т.д.), векторов, фигур и т.п.

Не равно, больше, меньше

В зависимости от целей поставленной задачи ценным можем являться уже просто факт выяснения неравенства объектов, но обычно вслед за установлением факта неравенства происходит выяснение того, какая все же величина больше, а какая – меньше.

Значение слов «больше» и «меньше» нам интуитивно знакомо с самого начала нашей жизни. Очевидным является навык определять превосходство объекта по размеру, количеству и т.д. Но в конечном счете любое сравнение приводит нас к сравнению чисел, которые определяют некоторые характеристики сравниваемых объектов. По сути, мы выясняем, какое число больше, а какое – меньше.

Простой пример:

Замечание 1

Утром температура воздуха составила $10$ градусов по Цельсию; в два часа дня этот показатель составил $15$ градусов. На основе сравнения натуральных чисел мы можем утверждать, что значение температуры утром было меньше, чем ее значение в два часа дня (или в два часа дня температура увеличилась, стала больше, чем была температура утром).

Запись неравенств с помощью знаков

Существуют общепринятые обозначения для записи неравенств:

Определение 1

знак «не равно», представляющий собой перечеркнутый знак «равно»: $\neq$ . Этот знак располагается между неравными объектами. Например: $5 \neq 10$ пять не равно десяти;
знак «больше»: $>$ и знак «меньше»: $<$ . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида $| A B | > | C D |$ говорит о том, что отрезок $A B$ больше отрезка $С D$ ;
знак «больше или равно»: $\geq$ и знак «меньше или равно»: $\leq$ .

Подробнее их смысл разберем ниже. Дадим определение неравенств по виду их записи.

Определение 2

Неравенства – алгебраические выражения, имеющие смысл и записанные при помощи знаков $\neq, >, <, \leq, \geq$ .

Строгие и нестрогие неравенства

Определение 3

Знаки строгих неравенств – это знаки «больше» и «меньше»: $>$ и $<$ Неравенства, составленные с их помощью – строгие неравенства.

Знаки нестрогих неравенств – это знаки «больше или равно» и «меньше или равно»: $\geq$ и $\leq$ . Неравенства, составленные с их помощью – нестрогие неравенства.

Как применяются строгие неравенства, мы разобрали выше. Зачем же используются нестрогие неравенства? В практике такими неравенствами возможно задавать случаи, описываемые словами «не больше» и «не меньше». Фраза «не больше» означает меньше или столько же – этому уровню сравнения соответствует знак «меньше или равно» $\leq$ . В свою очередь, «не меньше» значит – столько же или больше, а это знак «больше или равно» $\geq$ . Таким образом, нестрогие неравенства, в отличие от строгих, дают возможность равенства объектов.

Верные и неверные неравенства

Определение 4

Верное неравенство – то неравенство, которое соответствует указанному выше смыслу неравенства. В ином случае оно является неверным.

Приведем простые примеры для наглядности:

Замечание 2

Неравенство $5 \neq 5$ является неверным, поскольку на самом деле числа $5$ и $5$ равны.

Или такое сравнение:

Замечание 3

Допустим $S$ – площадь некой фигуры, в этом случае $S < - 4$ является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Аналогичными по смыслу термину «верное неравенство» являются фразы «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.д.

Свойства неравенств

Опишем свойства неравенств. Очевидный факт, что объект никак не может быть неравным самому себе, и это есть первое свойство неравенства. Второе свойство звучит так: если первый объект не равен второму, то и второй не равен первому.

Опишем свойства, соответствующие знакам «больше» или «меньше»:

Определение 5

антирефлективность. Это свойство можно выразить так: для любого объекта $k$ неравенства $k > k$ и $k < k$ неверны;
антисимметричность. Данное свойство говорит о том, что, если первый объект больше или меньше второго, то второй объект, соответственно, меньше или больше первого. Запишем: если $m > n$ , то $n < m$ . Или: если $m < n$ , то $n > m$ ;
транзитивность. В буквенной записи указанное свойство будет выглядеть так: если задано, что $a < b$ и $b < с$ , то $a < c$ . Наоборот: $a > b$ и $b > с$ , а значит $a > c$ . Данное свойство интуитивно понятно и естественно: если первый объект больше второго, а второй – больше третьего, то становится ясно, что первый объект тем более больше третьего.

Знакам нестрогих неравенств также присущи некоторые свойства:

Определение 6

рефлексивность: $a \geq a$ и $a \leq a$ (сюда же включается случай, когда $a = a$ );
антисимметричность: если $a \leq b$ , то $b \geq a$ . Если же $a \geq b$ , то $b \leq a$ ;
транзитивность: если $a \leq b$ и $b \leq c$ , то очевидно, что $a \leq c$ . И также: если $а \geq b$ , а $b \geq с,$ то $а \geq с$ .

Двойные, тройные и т.п. неравенства

Свойство транзитивности дает возможность записывать двойные, тройные и так далее неравенства, по сути являющиеся цепочками неравенств. К примеру: двойное неравенство – $e > f > g$ или тройное неравенство $k_{1} \leq k_{2} \leq k_{3} \leq k_{4}$ .

Отметим, что удобным бывает записывать неравенство как цепочки, включающие в себя различные знаки: равно, не равно и знаки строгих и нестрогих неравенств. Например, $x = 2 < y \leq z < 15$ .