Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.
Понятие возведения в степень
Начнем с формулирования базовых определений.
Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.
То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени .
Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.
Как возвести число в натуральную степень
Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием и показателем это будет произведение -ного числа множителей, каждый из которых равен . Это можно записать так:
Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.
Условие: возведите в степень .
Решение
Используя определение выше, запишем: . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить .
Возьмем пример посложнее.
Вычислите значение
Решение
Данную запись можно переписать в виде . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.
Выполним эти действия и получим ответ:
Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.
Выполните возведение в квадрат числа .
Решение
Для начала округлим его до сотых. Тогда . Если же , то мы получим более точный результат: .
Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени или преобразовать, если это возможно: .
Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:
Это понятно из записи .
От основания степени это не зависит.
Так, , а , возведенное в первую степень, останется равно .
Как возвести число в целую степень
Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени - целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.
В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.
Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе . Ранее мы уже поясняли, что -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного , и .
Примеры:
- не определен.
У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби , где - любое число, а - целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.
Возведите в степень .
Решение
Используя определение выше, запишем:
Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим : .
Тогда ответ таков:
Возведите в степень .
Решение
Переформулируем:
Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:
В итоге у нас вышло . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на тысяч (см. материал о преобразовании дробей).
Ответ:
Отдельный случай - возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: .
Пример:
.
Как возвести число в дробную степень
Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: при любом положительном , целом и натуральном .
Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня -ной степени.
У нас есть равенство , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде . Это значит, что если мы возводим число в дробную степень , то сначала мы извлекаем корень -ной степени из , потом возводим результат в степень с целым показателем .
Проиллюстрируем на примере.
Вычислите .
Решение
Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде:
Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата:
Способ 2. Преобразуем основное равенство:
После этого извлечем корень и результат возведем в квадрат:
Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.
Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.
Возведите в степень .
Решение
Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: .
А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше:
Ответ: .
Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями - довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.
Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида можно придать такой смысл: если , то ; если нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: , а в целую отрицательную - значения не имеет: .
Как возвести число в иррациональную степень
Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.
Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:
Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367....
Решение
Ограничимся десятичным приближением . Проведем вычисления с использованием этого числа: . Если же взять, к примеру, приближение , то ответ будет чуть точнее: .