Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число $0,5$ в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени $(0,5{)}^5$.

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием $a$ и показателем $n$ это будет произведение $n$-ного числа множителей, каждый из которых равен $a$. Это можно записать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Возьмем пример посложнее.

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

$a^1=a$

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени - целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе $1$. Ранее мы уже поясняли, что $0$-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного $0$, и $a^0=1$.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби $\frac{1}{a^z}$, где $а$ - любое число, а $z$ - целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Отдельный случай - возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: $a^{-1}=\frac{1}{a^1}=\frac{1}{a}$.

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$при любом положительном $a$, целом $m$ и натуральном $n$.

Проиллюстрируем на примере.  

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями - довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида $0^{\frac{m}{n}}$ можно придать такой смысл: если $\frac{m}{n}>0$, то $0^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{0^m}=0$; если $\frac{m}{n}<0$ нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: $0^{\frac{7}{12}}=0, 0^{3\frac{2}{5}}=0, 0^{0,024}=0$, а в целую отрицательную - значения не имеет: $0^{-\frac{4}{3}}$.

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем $a$, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере: