Возведение в степень: правила, примеры

Содержание:

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Определение 1

Возведение в степень - это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова "вычисление значение степени" и "возведение в степень" означают одно и то же. Так, если в задаче стоит "Возведите число $0, 5$ в пятую степень", это следует понимать как "вычислите значение степени $(0, 5)^{5}$ .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием $a$ и показателем $n$ это будет произведение $n$ -ного числа множителей, каждый из которых равен $a$ . Это можно записать так:

Как возвести число в натуральную степень

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Пример 1

Условие: возведите $- 2$ в степень $4$ .

Решение

Используя определение выше, запишем: $(- 2)^{4} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)$ . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить $16$ .

Возьмем пример посложнее.

Пример 2

Вычислите значение ${(3 \frac{2}{7})}^{2}$

Решение

Данную запись можно переписать в виде $3 \frac{2}{7} \cdot 3 \frac{2}{7}$ . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: $3 \frac{2}{7} \cdot 3 \frac{2}{7} = \frac{23}{7} \cdot \frac{23}{7} = \frac{529}{49} = 10 \frac{39}{49}$

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Пример 3

Выполните возведение в квадрат числа $π$ .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда $π^{2} \approx (3, 14)^{2} = 9, 8596$ . Если же $π \approx 3.14159$ , то мы получим более точный результат: $π^{2} \approx (3, 14159)^{2} = 9, 8695877281$ .

Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени $(\ln 6)^{3}$ или преобразовать, если это возможно: ${(\sqrt{5})}^{7} = 125 \sqrt{5}$ .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

$a^{1} = a$

Это понятно из записи Как возвести число в натуральную степень .

От основания степени это не зависит.

Пример 4

Так, $(- 9)^{1} = - 9$ , а $\sqrt[3]{7}$ , возведенное в первую степень, останется равно $\sqrt[3]{7}$ .

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени - целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе $1$ . Ранее мы уже поясняли, что $0$ -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного $0$ , и $a^{0} = 1$ .

Пример 5

Примеры:

$5^{0} = 1, (- 2, 56)^{0} = 1 {(\sqrt{\frac{2}{3}})}^{0} = 1$

$0^{0}$ - не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби $\frac{1}{a^{z}}$ , где $а$ - любое число, а $z$ - целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.

Пример 6

Возведите $2$ в степень $- 3$ .

Решение

Используя определение выше, запишем: $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}}$

Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим $8$ : $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .

Тогда ответ таков: $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$

Как возвести число в целую степень — Пример 7

Отдельный случай - возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: $a^{- 1} = \frac{1}{a^{1}} = \frac{1}{a}$ .

Пример 8

Пример: $3^{- 1} = 1 / 3$

${(\frac{9}{13})}^{- 1} = \frac{13}{9} {(\sqrt[4]{6})}^{- 1} = \frac{1}{\sqrt[4]{6}}$ .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ при любом положительном $a$ , целом $m$ и натуральном $n$ .

Определение 2

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня $n$ -ной степени.

У нас есть равенство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде $a^{\frac{m}{n}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$ . Это значит, что если мы возводим число $a$ в дробную степень $m / n$ , то сначала мы извлекаем корень $n$ -ной степени из $а$ , потом возводим результат в степень с целым показателем $m$ .

Проиллюстрируем на примере.

Пример 9

Вычислите $8^{- \frac{2}{3}}$ .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: $8^{- \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^{- 2}}$

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: $\sqrt[3]{8^{- 2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt[3]{1^{3}}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{\sqrt[3]{1^{3}}}{\sqrt[3]{4^{3}}} = \frac{1}{4}$

Способ 2. Преобразуем основное равенство: $8^{- \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^{- 2}} = {(\sqrt[3]{8})}^{- 2}$

После этого извлечем корень ${(\sqrt[3]{8})}^{- 2} = {(\sqrt[3]{2^{3}})}^{- 2} = 2^{- 2}$ и результат возведем в квадрат: $2^{- 2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}$

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Пример 10

Возведите $44, 89$ в степень $2, 5$ .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: $44, 89^{2, 5} = 44, 89^{\frac{5}{2}}$ .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: $44, 89^{\frac{5}{2}} = \sqrt{44, 89^{5}} = {(\sqrt{44, 89})}^{5} = {(\sqrt{\frac{4489}{100}})}^{5} = {(\frac{\sqrt{4489}}{\sqrt{100}})}^{5} = {(\frac{\sqrt{67^{2}}}{\sqrt{10^{2}}})}^{5} = {(\frac{67}{10})}^{5} = = \frac{1350125107}{100000} = 13 501, 25107$

Ответ: $13 501, 25107$ .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями - довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида $0^{\frac{m}{n}}$ можно придать такой смысл: если $\frac{m}{n} > 0$ , то $0^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{0^{m}} = 0$ ; если $\frac{m}{n} < 0$ нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: $0^{\frac{7}{12}} = 0, 0^{3 \frac{2}{5}} = 0, 0^{0, 024} = 0$ , а в целую отрицательную - значения не имеет: $0^{- \frac{4}{3}}$ .

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем $a$ , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Пример 11

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367....

Решение

Ограничимся десятичным приближением $a_{n} = 1, 17$ . Проведем вычисления с использованием этого числа: $2^{1, 17} \approx 2, 250116$ . Если же взять, к примеру, приближение $a_{n} = 1, 1743$ , то ответ будет чуть точнее: $2^{1, 174367} . . . \approx 2^{1, 1743} \approx 2, 256833$ .

Решение задач от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта