Уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.

Как найти уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки

Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:

Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.

Допустим, у нас имеется прямоугольная система координат. Обозначим ее $Oxyz$. В ней лежат три точки$M$ с координатами $M_1 (x_1, y_1, z_1), M_2(x_2, y_2, z_2), M_3(x_{3, }{y}_3, z_3)$, которые нельзя соединить прямой линией. Исходя из этих условий, мы можем записать уравнение необходимой нам плоскости. Есть два подхода к решению этой задачи.

1. Первый подход использует общее уравнение плоскости. В буквенном виде оно записывается как $A(x-x_1)+B(y-y_1)+C(z-z_1)=0$. С его помощью можно задать в прямоугольной системе координат некую плоскость альфа, которая проходит через первую заданную точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$. У нас получается, что нормальный вектор плоскости $\alpha$ будет иметь координаты $\left(A, B, C\right)$. 

Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.

Таким образом, согласно условиям задачи, мы имеем координаты искомой точки (даже трех), через которую проходит плоскость. Чтобы найти уравнение, нужно вычислить координаты ее нормального вектора. Обозначим его $\overrightarrow{n}$.

Вспомним правило: любой не равный нулю вектор данной плоскости является перпендикулярным нормальному вектору этой же плоскости. Тогда мы имеем, что $\overrightarrow{n}$ будет перпендикулярным по отношению к векторам, составленным из исходных точек $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ и $\overrightarrow{M_1{M}_3}$. Тогда мы можем обозначить $\overrightarrow{n}$ как векторное произведение вида$\overrightarrow{M_1{M}_2}·\overrightarrow{M_1{M}_3}$.

Поскольку $\overrightarrow{M_1{M}_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ а $\overrightarrow{M_1{M}_3}=\left(x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1\right)$ (доказательства этих равенств приведены в статье, посвященной вычислению координат вектора по координатам точек), тогда получается, что:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{M_1{M}_2}\times \overrightarrow{M_1{M}_3}\right]=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|$

Если мы вычислим определитель, то получим необходимые нам координаты нормального вектора $\overrightarrow{n}$. Теперь мы можем записать нужное нам уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

2. Второй подход нахождения уравнения, проходящей через $M_1 (x_1, y_1, z_1), M_2(x_2, y_2, z_2), M_3(x_{3, }{y}_3, z_3)$, основан на таком понятии, как компланарность векторов.

Если у нас есть множество точек $M (x, y, z)$, то в прямоугольной системе координат они определяют плоскость для заданных точек $M_1 (x_1, y_1, z_1), M_2(x_2, y_2, z_2), M_3(x_{3, }{y}_3, z_3)$ только в том случае, когда векторы $\overrightarrow{M_{1}M\hspace{0.17em}}=(x-x_1, y-y_1, z-z_1), \overrightarrow{M_1{M}_2\hspace{0.17em}}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ и $\overrightarrow{M_1{M}_3\hspace{0.17em}}=(x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1)$ будут компланарными.

На схеме это будет выглядеть так:

Это будет означать, что смешанное произведение векторов $\overrightarrow{M_{1}M}, \overrightarrow{M_1{M}_2}, \overrightarrow{M_1{M}_3}$ будет равно нулю: $\overrightarrow{M_{1}M}·\overrightarrow{M_1{M}_2}· \overrightarrow{M_1{M}_3}=0$, поскольку это является основным условием компланарности: $\overrightarrow{M_{1}M\hspace{0.17em}}=(x-x_1, y-y_1, z-z_1), \overrightarrow{M_1{M}_2\hspace{0.17em}}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ и $\overrightarrow{M_1{M}_3\hspace{0.17em}}=(x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1)$.

Запишем полученное уравнение в координатной форме:

$\left|\begin{array}{ccc}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1& z_3-z_1\end{array}\right|=0$

После того, как мы вычислим определитель, мы сможем получить нужное нам уравнение плоскости для трех не лежащих на одной прямой точек $M_1 (x_1, y_1, z_1), M_2(x_2, y_2, z_2), M_3(x_{3, }{y}_3, z_3)$.

От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.

В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.

Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки

Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.

А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.

Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать уравнение прямой ${М}_1{М}_2, {М}_1{М}_3$ или ${М}_2{М}_3$ (при необходимости посмотрите материал об этом действии).

2. Взять точку $M_4(x_4, y_4, z_4)$, которая не лежит на прямой ${М}_1{М}_2$.

3. Записать уравнение плоскости, которая проходит через три различных точки ${М}_1, {М}_2$ и $M_4$, не лежащих на одной прямой.