Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Параметрические уравнения прямой на плоскости: описание, примеры, решение задач

Содержание:

Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости

Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.

Допустим, нам задана прямоугольная система координат Oxy. А также заданы прямая а с указанием лежащей на ней точки М1(x1, y1) и направляющий вектор заданной прямой a= (ax, ay). Дадим описание заданной прямой a, используя уравнения.

Используем произвольную точку М (x, y) и получим вектор М1М; вычислим его координаты по координатам точек начала и конца: M1M=(x-x1, y-y1). Опишем полученное: прямая задана множеством точек М (x, y), проходит через точку М1(x1, y1) и имеет направляющий вектор a= (ax, ay). Указанное множество задает прямую только тогда, когда векторы M1M=(x-x1, y-y1) и a= (ax, ay) являются коллинеарными.

Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости

Существует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, которое в данном случае для векторов M1M=(x-x1, y-y1) и a= (ax, ay) возможно записать в виде уравнения:

M1M=λ·a, где λ – некоторое действительное число.

Определение 1

Уравнение M1M=λ·a называют векторно-параметрическим уравнением прямой.

В координатной форме оно имеет вид:

M1M=λ·ax-x1=λ·axy-y1=λ·ayx=x1+ax·λy=y1+ay·λ

Уравнения полученной системы x=x1+ax·λy=y1+ay·λ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λ при переборе всех действительных значений параметра λ

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости

Согласно вышесказанному, параметрические уравнения прямой на плоскости x=x1+ax·λy=y1+ay·λ определяют прямую линию, которая задана в прямоугольной системе координат, проходит через точку М1(x1, y1) и имеет направляющий вектор a= (ax, ay). Следовательно, если заданы координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора, то возможно сразу записать параметрические уравнения заданной прямой.

Пример 1

Необходимо составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат, если заданы принадлежащая ей точка М1(2, 3) и ее направляющий вектор a= (3, 1).

Решение

На основе исходных данных получим: x1 = 2, y1 = 3, ax = 3, ay = 1. Параметрические уравнения будут иметь вид:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λx=2+3·λy=3+1·λx=2+3·λy=3+λ

Наглядно проиллюстрируем:

Составление параметрических уравнений прямой на плоскости

Ответ:x=2+3·λy=3+λ

Необходимо отметить: если вектор a=(ax, ay) служит направляющим вектором прямой а, а точки М1(x1, y1) и М2(x2, y2) принадлежат этой прямой, то ее возможно определить, задав параметрическими уравнениями вида: x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, а также и таким вариантом: x=x2+ax·λy=y2+ay·λ.

К примеру, нам заданы направляющий вектор прямой a= (2, -1), а также точки М1(1, -2) и М2 (3, -3), принадлежащие этой прямой. Тогда прямую определяют параметрические уравнения: x=1+2·λy=-2-λ или x=3+2·λy=-3-λ .

Следует обратить внимание и на такой факт: если a= (ax, ay) - направляющий вектор прямой a, то ее направляющим вектором будет и любой из векторов μ·a=(μ·ax, μ·ay), где μ ϵ R, μ0 .

Таким образом, прямая а на плоскости в прямоугольной системе координат может быть определена параметрическими уравнениями: x=x1+μ·ax·λy=y1+μ·ay·λ при любом значении μ, отличном от нуля.

Допустим, прямая а задана параметрическими уравнениями x=3+2·λy=-2-5·λ. Тогда a= (2, -5) - направляющий вектор этой прямой. А также любой из векторов μ·a=(μ·2, μ·-5)=2μ, -5μ, μR, μ0 станет направляющим вектором для заданной прямой. Для наглядности рассмотрим конкретный вектор -2 · a= (-4, 10), ему соответствует значение μ = -2. В таком случае заданную прямую можно также определить параметрическими уравнениями x=3-4·λy=-2+10·λ.

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно

В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.

Параметрическим уравнениям прямой вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λ будет соответствовать каноническое уравнение прямой на плоскости x-x1ax=y-y1ay.

Разрешим каждое из параметрических уравнений относительно параметра λ, приравняем правые части полученных равенств и получим каноническое уравнение заданной прямой:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λλ=x-x1axλ=y-y1ayx-x1ax=y-y1ay

При этом не должно смущать, если ax или ay будут равны нулю.

Пример 2

Необходимо осуществить переход от параметрических уравнений прямой x=3y=-2-4·λ к каноническому уравнению.

Решение

Запишем заданные параметрические уравнения в следующем виде: x=3+0·λy=-2-4·λ

Выразим параметр λ в каждом из уравнений: x=3+0·λy=-2-4·λλ=x-30λ=y+2-4

Приравняем правые части системы уравнений и получим требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

x-30=y+2-4

Ответ: x-30=y+2-4

В случае, когда необходимо записать уравнение прямой вида Ax+By+C=0, при этом заданы параметрические уравнения прямой на плоскости, необходимо сначала осуществить переход к каноническому уравнению, а затем к общему уравнению прямой. Запишем всю последовательность действий:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λλ=x-x1axλ=y-y1ayx-x1ax=y-y1ayay·(x-x1)=ax·(y-y1)Ax+By+C=0

Пример 3

Необходимо записать общее уравнение прямой, если заданы определяющие ее параметрические уравнения: x=-1+2·λy=-3·λ

Решение

Для начала осуществим переход к каноническому уравнению:

x=-1+2·λy=-3·λλ=x+12λ=y-3x+12=y-3

Полученная пропорция идентична равенству -3 · (x + 1) = 2 · y. Раскроем скобки и получим общее уравнение прямой: -3·x+1=2·y3x+2y+3=0.

Ответ: 3x+2y+3=0

Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.

Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.

Самый простой переход: от канонического уравнения к параметрическим. Пусть задано каноническое уравнение вида: x-x1ax=y-y1ay . Каждое из отношений этого равенства примем равным параметру λ:

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

x-x1ax=y-y1ay=λλ=x-x1axλ=y-y1ay

Разрешим полученные уравнения относительно переменных x и y:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λ

Пример 4

Необходимо записать параметрические уравнения прямой, если известно каноническое уравнение прямой на плоскости: x-25=y-22

Решение

Приравняем части известного уравнения к параметру λx-25=y-22=λ . Из полученного равенства получим параметрические уравнения прямой: x-25=y-22=λλ=x-25λ=y-25x=2+5·λy=2+2·λ

Ответ: x=2+5·λy=2+2·λ

Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.

Пример 5

Необходимо записать параметрические уравнения прямой при известном общем уравнении этой прямой: 4x-3y-3=0 .

Решение 

Заданное общее уравнение преобразуем в уравнение канонического вида:

4x-3y-3=04x=3y+34x=3y+13x3=y+134

Приравняем обе части равенства к параметру λ и получим требуемые параметрические уравнения прямой:

x3=y+134=λx3=λy+134=λx=3·λy=-13+4·λ

Ответ: x=3·λy=-13+4·λ

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости

Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

  1. В задачах первого типа заданы координаты точек, принадлежащих или нет прямой, описанной параметрическими уравнениями.

Решение таких задач опирается на следующий факт: числа (x, y), определяемые из параметрических уравнений x=x1+ax·λy=y1+ay·λ при некотором действительном значении λ, являются координатами точки, принадлежащей прямой, которая описывается этими параметрическими уравнениями.

Пример 6

Необходимо определить координаты точки, которая лежит на прямой, заданной параметрическими уравнениямиx=2-16·λy=-1+2·λ при λ = 3.

Решение 

Подставим в заданные параметрические уравнения известное значение λ = 3 и осуществим вычисление искомых координат: x=2-16·3y=-1+2·3x=112y=5

Ответ: 112, 5

Также возможна следующая задача: пусть задана некоторая точка M0 (x0, y0) на плоскости в прямоугольной системе координат и нужно определить, принадлежит ли эта точка прямой, описываемой параметрическими уравнениями x=x1+ax·λy=y1+ay·λ.

Чтобы решить подобную задачу, необходимо подставить координаты заданной точки в известные параметрические уравнения прямой. Если будет определено, что возможно такое значение параметра λ = λ0, при котором будут верными оба параметрических уравнения, тогда заданная точка является принадлежащей заданной прямой.

Пример 7

Заданы точки М0(4, -2) и N0(-2, 1). Необходимо определить, являются ли они принадлежащими прямой, определенной параметрическими уравнениями x=2·λy=-1-12·λ.

Решение

Подставим координаты точки М0(4, -2) в заданные параметрические уравнения:

4=2·λ-2=-1-12·λλ=2λ=2λ=2

Делаем вывод, что точка М0 принадлежит заданной прямой, т.к. соответствует значению λ = 2.

Далее по аналогии проверим заданную точку N0(-2, 1), подставив ее координаты в заданные параметрические уравнения:

-2=2·λ1=-1-12·λλ=-1λ=-4

Очевидно, что не существует такого параметра λ, которому будет соответствовать точка N0. Другими словами, заданная прямая не проходит через точку N0(-2, 1).

Ответ: точка М0 принадлежит заданной прямой; точка N0 не принадлежит заданной прямой.

  1. В задачах второго типа требуется составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Самый простой пример такой задачи (при известных координатах точки прямой и направляющего вектора) был рассмотрен выше. Теперь разберем примеры, в которых сначала нужно найти координаты направляющего вектора, а потом записать параметрические уравнения.
Пример 8

Задана точка M112, 23. Необходимо составить параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку и параллельной прямой x2=y-3-1.

Решение

По условию задачи прямая, уравнение которой нам предстоит опередить, параллельна прямой x2=y-3-1. Тогда в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку, возможно использовать направляющий вектор прямой x2=y-3-1, который запишем в виде: a=(2, -1). Теперь известны все необходимые данные для того, чтобы составить искомые параметрические уравнения:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λx=12+2·λy=23+(-1)·λx=12+x·λy=23-λ

Ответ: x=12+x·λy=23-λ.

Пример 9

Задана точка М1(0, -7). Необходимо записать параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно прямой 3x  2y  5 = 0.

Решение

В качестве направляющего вектора прямой, уравнение которой надо составить, возможно взять нормальный вектор прямой 3x  2y  5 = 0. Его координаты (3, -2). Запишем требуемые параметрические уравнения прямой:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λx=0+3·λy=-7+(-2)·λx=3·λy=-7-2·λ

Ответ: x=3·λy=-7-2·λ

  1. В задачах третьего типа требуется осуществить переход от параметрических уравнений заданной прямой к прочим видам уравнений, которые ее определяют. Решение подобных примеров мы рассматривали выше, приведем еще один.
Пример 10

Дана прямая на плоскости в прямоугольной системе координат, определяемая параметрическими уравнениями x=1-34·λy=-1+λ. Необходимо найти координаты какого-либо нормального вектора этой прямой.

Решение

Чтобы определить искомые координаты нормального вектора, осуществим переход от параметрических уравнений к общему уравнению:

x=1-34·λy=-1+λλ=x-1-34λ=y+11x-1-34=y+111·x-1=-34·y+1x+34y-14=0

Коэффициенты переменных x и y дают нам требуемые координаты нормального вектора. Таким образом, нормальный вектор прямой x=1-34·λy=-1+λ имеет координаты 1, 34.

Ответ: 1, 34.

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!