Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой (общее уравнение прямой на плоскости и его исследование). Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и его исследование, как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой (неполного уравнения, полного уравнения). Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач на уравнения.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Как найти уравнение прямой? Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат $O x y$ .

Теорема 1

Любое уравнение первой степени, имеющее вид $A x + B y + C = 0$ , где $А, В, С$ – некоторые действительные числа ( $А$ и $В$ не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид $A x + B y + C = 0$ при некотором наборе значений $А, В, С$ .

Общее уравнение прямой: основные сведения — Доказательство

Так, без какой-либо помощи онлайн мы смогли доказать и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Определение 1

Уравнение, имеющее вид $A x + B y + C = 0$ – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат $O x y$ (уравнение прямой параллельной оси ox).

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты $А$ и $В$ при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой $A x + B y + C = 0$ .

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение $2 x + 3 y - 2 = 0$ , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор $\vec{n} = (2, 3)$ . Изобразим заданную прямую линию из уравнения с вектором на чертеже.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением $2 x + 3 y - 2 = 0$ , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение $λ \cdot A x + λ \cdot B y + λ \cdot C = 0$ , умножив обе части общего уравнения прямой на число $λ$ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Определение 2

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой $A x + B y + C = 0$ , в котором числа $А, В, С$ отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

Когда $А = 0, В \neq 0, С \neq 0,$ общее уравнение принимает вид $B y + C = 0$ . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат $O x y$ прямую, которая параллельна оси $O x$ , поскольку при любом действительном значении $x$ переменная y примет значение $- \frac{C}{B}$ . Иначе говоря, общее уравнение прямой $A x + B y + C = 0$ , когда $А = 0, В \neq 0$ , задает геометрическое место точек $(x, y)$ , координаты которых равны одному и тому же числу $- \frac{C}{B}$ .
Если $А = 0, В \neq 0, С = 0$ , общее уравнение принимает вид $y = 0$ . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс $O x$ .
Когда $А \neq 0, В = 0, С \neq 0$ , получаем неполное общее уравнение $A x + С = 0$ , задающее прямую, параллельную оси ординат.
Пусть $А \neq 0, В = 0, С = 0$ , тогда неполное общее уравнение примет вид $x = 0$ , и это есть уравнение координатной прямой $O y$ .
Наконец, при $А \neq 0, В \neq 0, С = 0,$ неполное общее уравнение принимает вид $A x + B y = 0 .$ И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел $(0, 0)$ отвечает равенству $A x + B y = 0$ , поскольку $А \cdot 0 + В \cdot 0 = 0$ .

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Неполное уравнение общей прямой

Пример 1

Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку $(\frac{2}{\sqrt{7}}, - 11)$ . Необходимо написать общее уравнение заданной прямой. Попробуем его составить.

Решение

Решение лежит на поверхности. Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида $A x + C = 0$ , в котором $А \neq 0$ . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения $A x + C = 0$ , т.е. верно равенство:

$A \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} + C = 0$

Из него возможно определить $C$ , если придать $A$ какое-то ненулевое значение, к примеру, $A = \sqrt{7}$ . В таком случае получим: $\sqrt{7} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - 2$ . Нам известны оба коэффициента $A$ и $C$ , подставим их в уравнение $A x + C = 0$ и получим требуемое уравнение прямой: $\sqrt{7} x - 2 = 0$

Ответ: $\sqrt{7} x - 2 = 0$

Неполное уравнение общей прямой — Пример 2

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку $М_{0} (x_{0}, y_{0})$ , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: $A x_{0} + B y_{0} + C = 0$ . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C = 0$ , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку $М_{0} (x_{0}, y_{0})$ и имеет нормальный вектор $\vec{n} = (A, B)$ .

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Пример 3

Даны точка $М_{0} (- 3, 4)$ , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой $\vec{n} = (1, - 2)$ . Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: $А = 1, В = - 2, x_{0} = - 3, y_{0} = 4$ . Тогда:

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot (x - (- 3)) - 2 \cdot y (y - 4) = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow x - 2 y + 22 = 0$

Задачу можно решать иначе. Как она будет решаться? Общее уравнение прямой имеет вид $A x + B y + C = 0$ . Заданный нормальный вектор (векторная прямая) позволяет получить значения коэффициентов $A$ и $B$ в уравнении прямой, тогда:

$A x + B y + C = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot x - 2 \cdot y + C = 0 \Leftrightarrow x - 2 \cdot y + C = 0$

Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку $М_{0} (- 3, 4)$ , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению $x - 2 \cdot y + C = 0$ , т.е. $- 3 - 2 \cdot 4 + С = 0$ . Отсюда $С = 11$ . Требуемое уравнение прямой принимает вид: $x - 2 \cdot y + 11 = 0$ .

Ответ: $x - 2 \cdot y + 11 = 0$ .

Пример 4

Задана прямая $\frac{2}{3} x - y - \frac{1}{2} = 0$ и точка $М_{0}$ , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна $- 3$ . Необходимо определить ординату заданной точки.

Решение

Зададим обозначение координат точки $М_{0}$ как $x_{0}$ и $y_{0}$ . В исходных данных указано, что $x_{0} = - 3$ . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:

$\frac{2}{3} x_{0} - y_{0} - \frac{1}{2} = 0$

Определяем $y_{0}$ : $\frac{2}{3} \cdot (- 3) - y_{0} - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} - y_{0} = 0 \Leftrightarrow y_{0} = - \frac{5}{2}$

Ответ: $- \frac{5}{2}$

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида $A x + B y + C = 0$ к каноническому уравнению $\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}}$ .

Если $А \neq 0$ , тогда переносим слагаемое $B y$ в правую часть общего уравнения. В левой части выносим $A$ за скобки. В итоге получаем: $A (x + \frac{C}{A}) = - B y$ .

Это равенство возможно записать как пропорцию: $\frac{x + \frac{C}{A}}{- B} = \frac{y}{A}$ .

В случае, если $В \neq 0$ , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое $A x$ , прочие переносим в правую часть, получаем: $A x = - B y - C$ . Выносим $- В$ за скобки, тогда: $A x = - B (y + \frac{C}{B})$ .

Перепишем равенство в виде пропорции: $\frac{x}{- B} = \frac{y + \frac{C}{B}}{A}$ .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Пример 5

Задано общее уравнение прямой $3 y - 4 = 0$ . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.

Решение

Запишем исходное уравнение как $3 y - 4 = 0$ . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое $0 x$ ; а в правой части выносим $- 3$ за скобки; получаем: $0 x = - 3 (y - \frac{4}{3})$ .

Запишем полученное равенство как пропорцию: $\frac{x}{- 3} = \frac{y - \frac{4}{3}}{0}$ . Так, мы получили уравнение канонического вида.

Ответ: $\frac{x}{- 3} = \frac{y - \frac{4}{3}}{0}$ .

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Пример 6

Перед нами задание. Прямая задана уравнением $2 x - 5 y - 1 = 0$ . Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

$2 x - 5 y - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 5 y + 1 \Leftrightarrow 2 x = 5 (y + \frac{1}{5}) \Leftrightarrow \frac{x}{5} = \frac{y + \frac{1}{5}}{2}$

Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными $λ$ , тогда:

$\{\begin{cases} \frac{x}{5} = λ \\ \frac{y + \frac{1}{5}}{2} = λ \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \cdot λ \\ y = - \frac{1}{5} + 2 \cdot λ \end{cases}, λ \in R$

Ответ: $\{\begin{cases} x = 5 \cdot λ \\ y = - \frac{1}{5} + 2 \cdot λ \end{cases}, λ \in R$

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом $y = k \cdot x + b$ , но только тогда, когда $В \neq 0$ . Для перехода в левой части оставляем слагаемое $B y$ , остальные переносятся в правую. Получим: $B y = - A x - C$ . Разделим обе части полученного равенство на $B$ , отличное от нуля: $y = - \frac{A}{B} x - \frac{C}{B}$ .

Пример 7

Задано общее уравнение прямой: $2 x + 7 y = 0$ . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.

Решение

Произведем нужные действия по алгоритму:

$2 x + 7 y = 0 \Leftrightarrow 7 y - 2 x \Leftrightarrow y = - \frac{2}{7} x$

Ответ: $y = - \frac{2}{7} x$ .

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число $C$ в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на $- С$ и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных $x$ и $y$ :

$A x + B y + C = 0 \Leftrightarrow A x + B y = - C \Leftrightarrow \Leftrightarrow \frac{A}{- C} x + \frac{B}{- C} y = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{\frac{- C}{A}} + \frac{y}{\frac{- C}{B}} = 1$

Пример 8

Необходимо преобразовать общее уравнение прямой $x - 7 y + \frac{1}{2} = 0$ в уравнение прямой в отрезках.

Решение

Перенесем $\frac{1}{2}$ в правую часть: $x - 7 y + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x - 7 y = - \frac{1}{2}$ .

Разделим на -1/2 обе части равенства: $x - 7 y = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{- \frac{1}{2}} x - \frac{7}{- \frac{1}{2}} y = 1$ .

Преобразуем далее в необходимый вид: $\frac{1}{- \frac{1}{2}} x - \frac{7}{- \frac{1}{2}} y = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{- \frac{1}{2}} + \frac{y}{\frac{1}{14}} = 1$ .

Ответ: $\frac{x}{- \frac{1}{2}} + \frac{y}{\frac{1}{14}} = 1$ .

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{a} x + \frac{1}{b} y - 1 = 0 \Leftrightarrow A x + B y + C = 0 y = k x + b \Leftrightarrow y - k x - b = 0 \Leftrightarrow A x + B y + C = 0$

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

$\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}} \Leftrightarrow a_{y} \cdot (x - x_{1}) = a_{x} (y - y_{1}) \Leftrightarrow \Leftrightarrow a_{y} x - a_{x} y - a_{y} x_{1} + a_{x} y_{1} = 0 \Leftrightarrow A x + B y + C = 0$

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

$\{\begin{cases} x = x_{1} + a_{x} \cdot λ \\ y = y_{1} + a_{y} \cdot λ \end{cases} \Leftrightarrow \frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}} \Leftrightarrow A x + B y + C = 0$

Пример 9

Заданы параметрические уравнения прямой $\{\begin{cases} x = - 1 + 2 \cdot λ \\ y = 4 \end{cases}$ . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.

Решение

Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

$\{\begin{cases} x = - 1 + 2 \cdot λ \\ y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 + 2 \cdot λ \\ y = 4 + 0 \cdot λ \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} λ = \frac{x + 1}{2} \\ λ = \frac{y - 4}{0} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 4}{0}$

Перейдем от канонического к общему:

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 4}{0} \Leftrightarrow 0 \cdot (x + 1) = 2 (y - 4) \Leftrightarrow y - 4 = 0$

Ответ: $y - 4 = 0$

Пример 10

Задано уравнение прямой в отрезках $\frac{x}{3} + \frac{y}{\frac{1}{2}} = 1$ . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

Решение:

Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{\frac{1}{2}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} x + 2 y - 1 = 0$

Ответ: $\frac{1}{3} x + 2 y - 1 = 0$ .

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0$ . Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Пример 11

Задана прямая, параллельная прямой $2 x - 3 y + \sqrt[3]{3} = 0$ . Также известна точка $M_{0} (4, 1)$ , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой $\vec{n} = (2, - 3)$ : $2 x - 3 y + \sqrt[3]{3} = 0$ . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0 \Leftrightarrow 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 y - 5 = 0$

Ответ: $2 x - 3 y - 5 = 0$ .

Пример 12

Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 4}{5}$ . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.

Решение

Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 4}{5}$ .

Тогда $\vec{n} = (3, 5)$ . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку $О (0, 0)$ . Составим общее уравнение заданной прямой:

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0 \Leftrightarrow 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 5 y = 0$

Ответ: $3 x + 5 y = 0$ .

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.