Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Преобразование графиков элементарных функций

    Основные элементарные функции в чистом виде без преобразования встречаются редко, поэтому чаще всего приходится работать  с элементарными функциями, которые получили  из основных  с помощью добавления констант и коэффициентов.  Такие графики строятся при помощи геометрических преобразований заданных элементарных функций.

    Рассмотрим на примере квадратичной функции вида y=-13x+232+2, графиком которой является парабола y=x2, которая сжата втрое относительно Оу и симметрична относительно Ох, причем сдвинутую на 23 по Ох вправо, на 2 единицы по Оу вверх. На координатной прямой это выглядит так:

    Преобразование графиков элементарных функций

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Геометрические преобразования графика функции

    Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что  график изображается функцией вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b, когда k1>0, k2>0 являются коэффициентами сжатия при 0<k1<1, 0<k2<1 или растяжения при k1>1, k2>1 вдоль Оу и Ох. Знак перед коэффициентами k1 и k2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по Ох и по Оу.

    Определение 1

    Существует 3 вида геометрических преобразований графика:

    • Масштабирование вдоль Ох и Оу. На это влияют коэффициенты k1 и k2 при условии не равности 1, когда 0<k1<1, 0<k2<1, то график сжимается по Оу, а растягивается по Ох, когда k1>1, k2>1, то график растягивается по Оу и сжимается по Ох.
    • Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака «-» перед k1 симметрия идет относительно Ох, перед k2 идет относительно Оу. Если «-» отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
    • Параллельный перенос (сдвиг) вдоль Ох и Оу. Преобразование производится  при  наличии коэффициентов a и b неравных 0. Если значение a положительное, до график сдвигается влево на |а|единиц, если отрицательное a, тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси Оу, что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном – вниз.

    Степенная функция

    Рассмотрим решения на примерах, начиная со степенной функции.

    Пример 1

    Преобразовать y=x23 и построить график функции y=-12·8x-423+3.

    Решение

    Представим функции таким образом:

    y=-12·8x-423+3=-12·8x-1223+3=-2x-1223+3

    Где k1=2, стоит обратить внимание на наличие «-», а=-12 , b=3. Отсюда получаем, что геометрические преобразования  производятся  с растяжения вдоль Оу вдвое, отображается симметрично относительно Ох, сдвигается вправо на 12 и вверх на 3 единицы.

    Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что

    Степенная функция

    при растягивании вдвое вдоль Оу имеем, что

    Степенная функция

    Отображение, симметричное относительно Ох, имеет вид

    Степенная функция

    а движение вправо на 12

    Степенная функция

    движение на 3 единицы вверх имеет вид

    Степенная функция

    Показательная функция

    Преобразования показательной функции рассмотрим на примерах. 

    Пример 2

    Произвести построение графика показательной функции y=-1212(2-x)+8.

    Решение.

    Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что

    y=-1212(2-x)+8=-12-12x+1+8=-12·12-12x+8

    Отсюда видно, что получим цепочку преобразований y=12x:

    y=12xy=12·12xy=12·1212xy=-12·1212xy=-12·12-12xy=-12·12-12x+8

    Получаем, что исходная показательная функция имеет вид

    Показательная функция

    Сжимание вдвое вдоль Оу дает

    Показательная функция

    Растягивание вдоль Ох

    Показательная функция

    Симметричное отображение относительно Ох

    Показательная функция

    Отображение симметрично относительно Оу

    Показательная функция

    Сдвигание на 8 единиц вверх

    Показательная функция

    Логарифмическая функция

    Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y=ln(x).

    Пример 3

    Построить функцию y=lne2·-12x3 при помощи преобразования y=ln(x).

    Решение

    Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:

    y=lne2·-12x3=ln(e2)+ln-12x13=13ln-12x+2

    Преобразования логарифмической функции выглядят так:

    y=ln(x)y=13ln(x)y=13ln12xy=13ln-12xy=13ln-12x+2

    Изобразим график исходной логарифмической функции

    Логарифмическая функция

    Производим сжимание строе по Оу

    Логарифмическая функция

    Производим растягивание вдоль Ох

    Логарифмическая функция

    Производим отображение относительно Оу

    Логарифмическая функция

    Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем

    Логарифмическая функция

    Для преобразования графиков тригонометрической функции необходимо подгонять под схему решения вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b. Необходимо , чтобы k2 приравнивался к Tk2. Отсюда получаем, что 0<k2<1 дает понять, что график функции увеличивает период по Ох, при k1 уменьшает его. От коэффициента k1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

    Преобразования y = sin x

    Рассмотрим примеры решения заданий с преобразованиями y=sinx.

    Пример 4

    Построить график y=-3sin12x-32-2 с помощью преобразований функции y=sinx.

    Решение

    Необходимо привести функцию к виду ±k1·f±k2·x+a+b. Для этого:

    y=-3sin12x-32-2=-3sin12(x-3)-2

    Видно, что k1=3, k2=12, a=-3, b=-2. Так как перед k1 имеется «-», а перед k2 - нет, тогда получим цепочку преобразований вида:

    y=sin(x)y=3sin(x)y=3sin12xy=-3sin12xy=-3sin12x-3y=-3sin12(x-3)-2

    Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды y=sin(x) получаем, что наименьшим положительным периодом считается T=2π. Нахождение максимума в точках π2+2π·k; 1, а минимума - -π2+2π·k; -1, kZ.

    Преобразования y = sin x

    Производится растягивание по Оу втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в 3 раза. T=2π - это наименьший положительный период. Максимумы переходят в π2+2π·k; 3, kZ , минимумы - -π2+2π·k; -3, kZ.

    Преобразования y = sin x

    При растягивании по Ох вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в 2 раза и равняется T=2πk2=4π. Максимумы переходят в π+4π·k; 3, kZ, минимумы – в -π+4π·k; -3, kZ.

    Преобразования y = sin x

    Изображение производится симметрично относительно Ох. Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется T=2πk2=4π. Переход максимума выглядит как -π+4π·k; 3, kZ,  а минимума – π+4π·k; -3, kZ.

    Преобразования y = sin x

    Производится сдвижение графика вниз на 2 единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки -π+3+4π·k; 1, kZ, минимумов - π+3+4π·k; -5, kZ.

    Преобразования y = sin x

    На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.

    Преобразование функции y = cos x

    Рассмотрим подробное преобразование функции y=cosx.

    Пример 5

    Построить график функции y=32cos2-2x+1 при помощи преобразования функции вида y=cosx.

    Решение

    По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду ±k1·f±k2·x+a+b. Тогда получаем, что

    y=32cos2-2x+1=32cos(-2(x-1))+1

    Из условия видно, что k1=32, k2=2, a=-1, b=1, где k2 имеет «-», а перед k1 он отсутствует.

    Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:

    y=cos(x)y=32cos(x)y=32cos(2x)y=32cos(-2x)y=32cos(-2(x-1))y=32cos-2(x-1)+1

    Пошаговое преобразование  косинусоиды с графической иллюстрацией.

    При заданной графике y=cos(x) видно, что наименьший общий период равняется T=2π. Нахождение максимумов в 2π·k; 1, kZ, а минимумов π+2π·k; -1, kZ.

    Преобразование функции y = cos x

    При растягивании вдоль Оу в 32 раза происходит возрастание амплитуды колебаний в 32 раза.T=2π является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в 2π·k; 32, kZ, минимумов в π+2π·k; -32, kZ.

    Преобразование функции y = cos x

    При сжатии вдоль Ох вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число  T=2πk2=π. Производится переход  максимумов в π·k; 32, kZ,минимумов - π2+π·k; -32, kZ.

    Преобразование функции y = cos x

    Симметричное отображение относительно Оу. Так как график нечетный, то он не будет изменяться.

    Преобразование функции y = cos x

    При сдвигании графика на 1. Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода T=π. Нахождение максимумов в π·k+1; 32, kZ, минимумов - π2+1+π·k; -32, kZ.

    Преобразование функции y = cos x

    При сдвигании на 1 наименьший положительный период равняется T=π и не изменен. Нахождение максимумов в π·k+1; 52, kZ, минимумов в π2+1+π·k; -12, kZ.

    Преобразование функции y = cos x

    Преобразования функции косинуса завершено.

    Преобразования y = tgx

    Рассмотрим преобразования на примере y=tgx.

    Пример 6

    Построить график функции y=-12tgπ3-23x+π3 при помощи преобразований функции y=tg(x).

    Решение

    Для начала необходимо привести заданную функцию к виду ±k1·f±k2·x+a+b, после чего получаем, что

    y=-12tgπ3-23x+π3=-12tg-23x-π2+π3

    Отчетливо видно, что k1=12, k2=23, a=-π2, b=π3, а перед коэффициентами k1 и k2 имеется «-». Значит, после преобразования тангенсоиды получаем

    y=tg(x)y=12tg(x)y=12tg23xy=-12tg23xy=-12tg-23xy=-12tg-23x-π2y=-12tg-23x-π2+π3

    Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.

     Имеем, что исходный график – это y=tg(x). Изменение положительного периода равняется T=π. Областью определения считается -π2+π·k; π2+π·k, kZ.

    Преобразования y = tgx

    Сжимаем  в 2 раза вдоль ОуT=π считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид -π2+π·k; π2+π·k, kZ.

    Преобразования y = tgx

    Растягиваем вдоль Ох в 32 раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся T=πk2=32π. А область определения функции с координатами -3π4+32π·k; 3π4+32π·k, kZ , меняется только область определения.

    Преобразования y = tgx

    Симметрия идет по сторону Ох. Период не изменится  в этот момент.

    Преобразования y = tgx

    Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение Ох и Оу, тогда преобразуем до исходной функции.

    Преобразования y = tgx

    При движении вправо на π2 видим, что наименьшим положительным периодом является  T=32π. А изменения происходят внутри области определения -π4+32π·k; 5π4+32π·k, kZ.

    Преобразования y = tgx

    При сдвигании графика на π3 получаем, что изменение области определения отсутствует.

    Преобразования y = tgx

    Преобразование тангенса завершено.

    Тригонометрическая функция вида y=arccosx

    Рассмотрим на примере тригонометрической функции вида y=arccosx.

    Пример 7

    Построить график функции y=2arcsin13(x-1) при помощи преобразования y=arccosx.

    Решение

    Для начала необходимо перейти от арккосинуса к арксинусу при помощи обратных тригонометрических функций arcsin x+arcocos x=π2. Значит, получим, что arcsinx=π2-arccosx.

    Видно, что y=arccosxy=-arccosxy=-arccosx+π2.

    Поэтапное преобразование арккосинуса и графическое изображение.

    График, данный по условию

    Тригонометрическая функция вида y=arccosx

    Производим отображение относительно Ох

    Тригонометрическая функция вида y=arccosx

    Производим движение вверх на π2.

    Тригонометрическая функция вида y=arccosx

    Таким образом, осуществляется переход от арккосинуса к косинусу. Необходимо произвести геометрические преобразования арксинуса и его графика.

    Видно, что k1=2, k2=13, a=-1, b=0, где отсутствует знак «-» у  k1 и k2.

    Отсюда получаем, что преобразования y=arcsinx примет вид:

    y=arcsin(x)y=2arcsin(x)y=2arcsin13xy=2arcsin13(x-1)

    Поэтапное преобразование графика арксинуса и графическое изображение.

    График y=arcsinx имеет область определения  вида x-1; 1, тогда интервал y-π2; π2 относится к области значений.

    Тригонометрическая функция вида y=arccosx

    Необходимо растянуть вдвое по Оу, причем область определения останется неизменной x-1; 1, а область значений y-π; π.

    Тригонометрическая функция вида y=arccosx

    Растягивание по Ох строе. Происходит расширение области определения x-3; 3, но область значений остается неизменной y-π; π.

    Тригонометрическая функция вида y=arccosx

    Производим сдвигание вправо на 1, причем область определения становится равной x-2; 4. Без изменений остается область значений y-π; π.

    Тригонометрическая функция вида y=arccosx

    Задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершена. Если по условию имеются сложные функции, тогда необходимо прибегнуть к полному исследованию функция.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (15 голосов)