Классификация элементарных функций

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Выделяют множество видов элементарных функций, каждый из которых обладает собственным набором свойств. Так, одни можно дифференцировать на определенном промежутке бесконечное число раз, другие являются непрерывными, ортогональными и др. В этой статье мы расскажем об общепринятой классификации элементарных функций.

Что такое элементарные функции

Начнем с базового определения.

Определение 1

Элементарные функции – это такие функции, которые получаются из основных функций с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, а также посредством преобразования сложных функций.

Замечание 1

Пример элементарной функции – $y = a r c \sin (\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 3}} + 1) - \ln (x)$ .

Таким функции бывают:

алгебраическими;
трансцендентными.

В свою очередь алгебраические функции можно разделить на иррациональные и рациональные (целые рациональные и дробные рациональные).

Рассмотрим каждый вид функций отдельно.

Понятие алгебраических функций

Определение 2

Алгебраические функции – это функции, которые состоят из цифр и букв, соединяющихся друг с другом при помощи знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня и возведения в целую степень.

Иными словами, это те функции, которые можно получить из основных функций $f (x) = x$ и $f (x) = 1$ и любых чисел, проведя с ними необходимые алгебраические действия (вычитание, умножение, сложение, деление и др.)

Замечание 2

Так, примером алгебраической функции является $y = \frac{\sqrt[4]{x^{2} - 3}}{x}$ .

Выделяют рациональные и иррациональные алгебраические функции.

Определение 3

Рациональные функции – это те, в которых аргумент не находится под знаком корня (радикала). Они в свою очередь делятся на целые рациональные (т.е. многочлены) и дробные рациональные (выражения, составленные из многочленов).

Замечание 3

Примером первого вида функций является $y = \frac{1}{2} x^{4} + x - 1$ , второго – $y = \frac{x - a}{x^{3} + b}$ .

Важно отметить, что в рациональных функциях могут присутствовать иррациональные коэффициенты. Основное условие –– отсутствие аргумента функции под знаком радикала. Так, $y = \frac{1}{\sqrt{3}} x^{2} - 1$ относится не к иррациональным, а к целым рациональным функциям.

Определение 4

Иррациональные функции – это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).

Замечание 4

Примером такой функции может быть $y = \sqrt[3]{x + 1}$ .

Понятие трансцендентных функций

Прочие функции, которые нельзя отнести к алгебраическим, относятся к виду трансцендентных.

Определение 5

Трансцендентные функции – это те, которые образуются при помощи логарифмирования, возведения в иррациональную степень или с помощью тригонометрических и обратных тригонометрических преобразований.

Замечание 5

Пример такой функции – $y = \log_{2} (x^{3} + \frac{2}{3})$ .

При определении вида функции нужно учитывать один важный момент. Если исходная функция может быть упрощена, то определять вид мы будем уже у полученной в итоге преобразований, а не у исходной функции. Так, $y = \sqrt[3]{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}$ не относится к иррациональным функциям, поскольку при упрощении она становится рациональной $y = \sqrt[3]{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)} = \sqrt[3]{{({(x + 1)}^{3})}^{2}} = {(x + 1)}^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ .Функция $y = \arcsin (\sin (3 x^{2} + 1))$ является рационально алгебраической, а не трансцендентной, поскольку $y = \arcsin (\sin (3 x^{2} + 1)) = 3 x^{2} + 1$ .