Информационный баннер

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Уравнения в полных дифференциалах

Содержание:

В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения.

Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу.

Пример 1

Рассмотрим уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0. Для этого должно выполняться условие PyQx.

Полный дифференциал функции U(x, y) = 0 имеет вид dU=Uxdx+Uydy. С учетом условия PyQx получаем:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=Uxdx+Uydy

Откуда: 

Ux=P(x,y)Uy=Q(x,y)

Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:

U(x,y)=P(x,y)dx+φ(y)

Функцию φ(y) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
U(x,y)y=P(x,y)dxy+φy'(y)=Q(x,y)φ(y)=Q(x,y)-P(x,y)dxydy

Так мы нашли искомую функцию U(x, y) = 0.

Пример 2

Найдите для ДУ (x2-y2)dx-2xydy=0 общее решение.

Решение

P(x,y)=x2-y2, Q(x,y)=-2xy

Проверим, выполняется ли условие  PyQx:

Py=(x2-y2)y=-2yQx=(-2xy)x=-2y

Наше условие выполняется.

На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0. Нам нужно найти эту функцию.

Так как (x2-y2)dx-2xydy является полным дифференциалом функции U(x, y) = 0, то

Ux=x2-y2Uy=-2xy

Интегрируем по x первое уравнение системы:

U(x,y)=(x2-y2)dx+φ(y)=x33-xy2+φ(y)

Теперь дифференцируем по y полученный результат:

Uy=x33-xy2+φ(y)y=-2xy+φy'(y)

Преобразовав второе уравнение системы, получаем: Uy=-2xy. Это значит, что
-2xy+φy'(y)=-2xyφy'(y)=0φ(y)=0dx=C

где С – произвольная постоянная.

Получаем: U(x,y)=x33-xy2+φ(y)=x33-xy2+C. Общим интегралом исходного уравнения является  x33-xy2+C=0.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки (x0 , y0) до точки с переменными координатами (x, y)

U(x,y)=(x0,y0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C

В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат.

Пример 3

Найдите общее решение дифференциального уравнения (y-y2)dx+(x-2xy)dy=0.

Решение

Проведем проверку, выполняется ли условие PyQx:

Py=(y-y2)y=1-2yQx=(x-2xy)x=1-2y

Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U(x, y)=0. Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки (1; 1) до (x, y). Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки (1, 1) до (x, 1), а затем от точки (x, 1) до (x, y):

(1,1)(x,y)y-y2dx+(x-2xy)dy==(1,1)(x,1)(y-y2)dx+(x-2xy)dy++(x,1)(x,y)(y-y2)dx+(x-2xy)dy==1x(1-12)dx+1y(x-2xy)dy=(xy-xy2)y1==xy-xy2-(x·1-x·12)=xy-xy2

Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида xy-xy2+C=0.

Пример 4

Определите общее решение дифференциального уравнения y·cosxdx+sin2xdy=0.

Решение

Проверим, выполняется ли условие PyQx.

Так как (y·cosx)y=cosx, (sin2x)x=2sinx·cosx, то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!