Специальное предложение

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Дифференциальное уравнение Бернулли

Содержание:

Статья раскрывает методы решения дифференциального уравнения Бернулли. В заключении будут рассмотрены решения примеров с подробным объяснением.

Приведение к линейному уравнению 1 порядка

Определение 1

Дифференциальное уравнение Бернулли записывается как y'+P(x)·y=Q(x)·yn. Если n=1, тогда его называют с разделяющими переменными. Тогда уравнение запишется как y'+P(x)·y=Q(x)·yy'=Q(x)-P(x)·y.

Для того, чтобы решить такое уравнение, необходимо первоначально привести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению 1 порядка с новой переменной вида z=y1-n. Проделав замену, получаем, что y=z11-ny'=11-n·zn1-n·z'.

Отсюда вид уравнения Бернулли меняется:

y'+P(x)·y=Q(x)·yn11-n·z11-n·z'+P(x)·z11-n=Q(x)·z11-nz'+(1-n)·P(x)·z=(1-n)·Q(x)

Этот процесс вычисления и подстановки способствует приведению к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. В итоге проводим замену и получаем его решение.

Пример 1

Найти общее решение для уравнения вида y'+xy=(1+x)·e-x·y2.

Решение

По условию имеем, что n=2, P(x)=x, Q(x)=(1+x)·e-x. Необходимо ввести новую переменную z=y1-n=y1-2=1y, отсюда получим, что y=1zy'=-z'z2.  Провести замену переменных и получить ЛНДУ первого порядка. Запишем, как

y'+xy=(1+x)·e-x·y2-z'z2+xz=(1+x)·e-x·1z2z'-xz=-(1+x)·e-x

Следует проводить решение при помощи метода вариации произвольной постоянной.

Проводим нахождение общего решения дифференциального уравнения вида:

dzdx-xz=0dzz=xdx, z0dzz=xdxlnz+C1=x22+C2elnz+C1=ex22+C2z=C·ex22, C=eC2-C1

Где z=0, тогда решение дифференциального уравнения считается z'-xz=0, потому как тождество становится равным нулю при нулевой функции z. Данный случай записывается как z=C(x)·ex22, где С=0.  Отсюда имеем, что общим решением дифференциального уравнения z'-xz=0 считается выражение z=C·ex22 при С являющейся произвольной постоянной.

Необходимо варьировать переменную для того, чтобы  можно было принять
z=C(x)·ex22 как общее решение дифференциального уравнения вида z'-xz=-(1+x)·e-x.

Отсюда следует, что производится подстановка вида

C(x)·ex22'-x·C(x)·ex22=-(1+x)·e-xC'(x)·ex22+C(x)·ex22'-x·C(x)·ex22=-1+x·e-xC'(x)·ex22+C(x)·x·ex22-x·C(x)·ex22=-(1+x)·e-xC'(x)·ex22=-(1+x)·e-x22-xC(x)=-(1+x)·e-x22-xdx=e-x22-xd-x22-x=e-x2x-x+C3

С3 принимает значение произвольной постоянной. Следовательно:

z=Cx·ex22=e-x22-x+C3·ex22=e-x+C3·ex22

Дальше производится обратная замена. Следует, что z=1y считается за y=1z=1e-x+C3·ex22.

Ответ: это решение считается решением исходного дифференциального уравнения Бернулли.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Представление произведением функций u(x) и v(x)

Имеется другой метод решения дифференциального уравнения Бернулли, который основывается на том, что функцию представляют при помощи произведения функций u(x) и v(x).

Тогда получаем, что y'=(u·v)'=u'·v+u·v'. Производим подстановку в уравнение Бернулли y'+P(x)·y=Q(x)·yn и упростим выражение:

u'·v+u·v'+P(x)·u·v=Q(x)·u·vnu'·v+u·(v'+P(x)·v)=Q(x)·u·vn

Когда  в качестве функции берут  ненулевое частное решение дифференциального уравнения v'+P(x)·v=0, тогда придем к равенству такого вида

u'·v+u·(v'+P(x)·v)=Q(x)·(u·v)nu'·v=Q(x)·(u·v)n.

Отсюда следует определить функцию u.

Пример 2

Решить задачу Коши 1+x2·y'+y=y2·arctg x, y(0) = 1.

Решение

Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида 1+x2·y'=y·arctg x, которое удовлетворяет условию y(0)=1.

Обе части неравенства необходимо поделить на x2 + 1, после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли y'+yx2+1=y2·arctg xx2+1.

Перейдем к поиску общего решения.

Принимаем y=u·v, отсюда получаем, что y'=u·v'=u'·v+u·v' и уравнение запишем  в виде

y'+yx2+1=y2·arctg xx2+1u'·v+u·v'+u·vx2+1=u·v2·arctg xx2+1u'·v+u·v'+vx2+1=u2·v2·arctg xx2+1

Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных v'+vx2+1=0, отличных от нуля. Получим, что

dvv=-dxx2+1, v0dvv=-dxx2+1lnv+C1=-arctg x+C2v=C·e-arctg x, C=eC2-C1

В качестве частного решения необходимо брать выражение вида v=e-arcrg x. Преобразуем и получим, что

u'·v+u·v'+vx2+1=u2·v2·arcrg xx2+1u'·v+u·0=u2·v2·arctg xx2+1u'=u2·v·arctg xx2+1u'=u2·e-arctg x·arctg xx2+1duu2=e-arctg x·arctg xx2+1dx, u0duu2=e-arctg x·arctg xx2+1dxduu2=e-arctg x·arctg x d(arctg x)

Имеем, что u=0 рассматривается как решение дифференциального уравнения. Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.

Интеграл с левой стороны, имеющего вид duu2, необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что

duu2=-1u+C3.

Чтобы найти интеграл вида e-arctg x·arctg x d(arctg x), принимаем значение arctg x=z и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что

e-arctg x·arctg x d(arctg x)=arctg x=z==e-z·z dz=u1=z, dv1=e-zdzdu1=dz, v1=-e-z==-z·e-z+e-zdz=-z·e-z-e-z+C4==-e-z·(z+1)+C4=-e-arctg x·(arctg x+1)+C4

Следовательно

-1u+C3=-e-arctg x·arctg x+1+C41u=e-arcrg x·arctg x+1+C3-C4u=1e-arcrg x·(arctg x+1)+C

Отсюда находим, что

y=u·v=e-arctg xe-arcrg x·(arctg x+1)+C и y=0·v=0·e-arcrg x=0 являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида y'+yx2+1=y2·arctg xx2+1.

На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что

y=e-arctg xe-arctg x·arctg x+1+C, тогда запись примет вид y0=e-arctg 0e-arctg 0·arctg 0+1+C=11+C.

Очевидно, что 11+C=1C=0. Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида y=e-arctg xe-arctg x·arctg x+1+0=1arctg x+1.

Навигация по статьям

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!