Этот раздел мы решили посвятить решению систем дифференциальных уравнений простейшего вида , в которых - некоторые действительные числа. Наиболее эффективным для решения таких систем уравнений является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме.
Решением системы дифференциальных уравнений будет являться пара функций и , которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.
Рассмотрим метод интегрирования системы ДУ . Выразим из -го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию из -го уравнения:
Выполним дифференцирование -го уравнения по и разрешим его уравнение относительно :
Теперь подставим результат предыдущих вычислений в -е уравнение системы:
Так мы исключили неизвестную функцию и получили линейное неоднородное ДУ -го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения и подставим его во -е уравнение системы. Найдем . Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.
Найдите решение системы дифференциальных уравнений
Решение
Начнем с первого уравнения системы. Разрешим его относительно :
Теперь выполним дифференцирование -го уравнения системы, после чего разрешим его относительно :
Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в -е уравнение системы ДУ:
В результате преобразований мы получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами . Если мы найдем его общее решение, то получим функцию .
Общее решение соответствующего ЛОДУ мы можем найти путем вычислений корней характеристического уравнения :
Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид .
Теперь найдем частное решение линейного неоднородного ДУ :
Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде , где – это неопределенный коэффициент.
Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства :
Таким образом, и . Одну неизвестную функцию мы нашли.
Теперь подставим найденную функцию во -е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно :
Так мы вычислили вторую неизвестную функцию .
Ответ: