Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Системы дифференциальных уравнений

Содержание:

Этот раздел мы решили посвятить тому, как решать систему дифференциальных уравнений (ду) простейшего вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2, в которых a1, b1, c1, a2, b2, c2 - некоторые действительные числа. Наиболее эффективным в решении систем ду и основным является метод интегрирования. Также рассмотрим решение примера по теме - научимся дифференцировать.

Как решить систему дифференциальных уравнений? Решением системы ДУ будет являться пара функций x(t) и y(t), которая способна обратить в тождество оба уравнения системы.

Рассмотрим правило или метод интегрирования системы ДУ dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2. Выразим х из 2-го уравнения системы для того, чтобы исключить неизвестную функцию x(t) из 1-го уравнения:

dydt=a2x+b2y+c2x=1a2dydt-b2y-c2

Выполним дифференцирование 2-го уравнения по t и разрешим его уравнение относительно dxdt:

d2ydt2=a2dxdt+b2dydtdxdt=1a2d2ydt2-b2dydt

Теперь подставим результат предыдущих вычислений в 1-е уравнение системы:

dxdt=a1x+b1y+c11a2d2ydt2-b2dydt=a1a2dydt-b2y-c2+b1y+c1d2ydt2-(a1+b2)·dydt+(a1·b2-a2·b1)·y=a2·c1-a1·c2

Так мы исключили неизвестную функцию x(t) и получили линейное неоднородное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Найдем решение этого уравнения y(t) и подставим его во 2-е уравнение системы. Найдем x(t). Будем считать, что на этом решение системы уравнений будет закончено.

Также выделяют жесткую систему ду в классификации уравнений: ее решение явными методами или способами будет неудовлетворительным ввиду резкого увеличения количества вычислений (в случае малого шага интегрирования) и погрешности (в случае недостаточно малого шага). 

Пример 1

Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений dxdt=x-1dydt=x+2y-3

Решение

Поиск начнем с первого уравнения системы линейных дифференциальных уравнений. Разрешим его относительно x:

x=dydt-2y+3

Теперь выполним дифференцирование 2-го уравнения системы оду, после чего разрешим его относительно dxdt: d2ydt2=dxdt+2dydtdxdt=d2ydt2-2dydt

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в 1-е уравнение дифсистемы:

dxdt=x-1d2ydt2-2dydt=dydt-2y+3-1d2ydt2-3dydt+2y=2

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное диф-е уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами d2ydt2-3dydt+2y=2 (линеаризация дифференциальных уравнений, линеаризованное уравнение). Если мы найдем его общее решение, то получим функцию y(t).

Общее решение соответствующего ЛОДУ y0 мы можем найти общее решение системы дифференциальных уравнений путем вычислений корней характеристического уравнения k2-3k+2=0:

D=32-4·2=1k1=3-12=1k2=3+12=2

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид y0=C1·et+C2·e2t.

Теперь нам нужно находить частное решение линейного неоднородного ДУ y~:

d2ydt2-3dydt+2y=2

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде y~=A, где А – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства d2y~dt2-3dy~dt+2y~=2:
d2(A)dt2-3d(A)dt+2A=22A=2A=1

Таким образом, y~=1 и y(t)=y0+y~=C1·et+C2·e2t+1. Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во 2-е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно x(t):
d(C1·et+C2·e2t+1)dt=x+2·(C1·et+C2·e2t+1)-3C1·et+2C2·e2t=x+2C1·et+2C2·e2t-1x=-C1·et+1

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию x(t)=-C1·et+1.

Ответ: x(t)=-C1·et+1y(t)=C1·et+C2·e2t+1

Теперь вы знаете, как решать системы дифференциальных уравнений на этом примере.

Навигация по статьям

Выполненные работы по математике
  • Математика

    Формирование вычислительных навыков на уроках математики в начальной школе.

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      14 июля 2022 г.

    • Стоимость:

      2 580 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    Расчет редуктора в технологии машиностроения.

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      1 июня 2021 г.

    • Стоимость:

      2 000 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    Математика в школьном курсе обучения

    • Вид работы:

      Курсовая

    • Выполнена:

      25 февраля 2021 г.

    • Стоимость:

      2 900 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012 г.

    • Стоимость:

      600 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012 г.

    • Стоимость:

      500 руб

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012 г.

    • Стоимость:

      500 руб

    Заказать такую же работу