Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и так далее, примеры, доказательства

Продолжаем разговор о признаках делимости. В этом материале мы изучим, по каким признакам можно определить делимость числа на $1000, 100$ и т.д. В первом пункте сформулируем их, возьмем несколько примеров, после чего приведем необходимые доказательства. Ближе к концу мы разберем доказательства делимости на $1000, 100, 10$ с помощью математической индукции и формулы бинома Ньютона.

Формулировка признака делимости на $10$ , $100$ и т.д. с примерами

Сначала запишем формулировку признака делимости на десять:

Определение 1

Если число заканчивается на $0$ , то его можно разделить на $10$ без остатка, а если на любую другую цифру, то нельзя.

Теперь запишем признак делимости на $100$ :

Определение 2

На $100$ без остатка можно разделить такое число, которое заканчивается двумя нулями. Если хотя бы одна из двух цифр в конце не равна нулю, то такое число разделить на $100$ без остатка нельзя.

Точно так же можно вывести признаки делимости на тысячу, $10$ тысяч и так далее: в зависимости от количества нулей в делителе нам требуется соответствующее количество нулей в конце числа.

Отметим, что данные признаки нельзя распространить на $0$ , поскольку $0$ можно разделить на любое целое число – и на сто, и на тысячу, и на десять тысяч.

Эти признаки легко применять в решении задач, ведь подсчитать количество нулей в исходном числе несложно. Возьмем несколько примеров применения данных правил на практике.

Пример 1

Условие: определите, какие числа из ряда $500, - 1010, - 50012, 440000300000, 67893$ можно разделить на $10, 10000$ без остатка, а какие из них не делятся на $100$ .

Решение

Согласно признаку делимости на $10$ , мы можем совершить такое действие с тремя числами из указанных, а именно с $- 1010, 440000300000, 500$ , ведь они все заканчиваются нулями. А вот для $- 50012$ и $67893$ такого деления без остатка мы осуществить не можем, поскольку у них в конце стоят $2$ и $3$ .

На $10$ тысяч здесь можно разделить всего одно число – $440000300000$ , поскольку лишь в нем достаточно нулей в конце $(4)$ . Зная признак делимости на $100$ , можно сказать, что $- 1010, - 50012$ и $67893$ на сотню не делятся, поскольку в конце у них нет двух нулей.

Ответ: на $10$ можно разделить числа $500, - 1010, 440000300000$ ; на $10000$ – число $440000300000$ ; на $100$ не делятся числа $1010, - 50012$ и $67893$ .

Как доказать признаки делимости на $10$ , $100$ , $1000$ и др.

Для доказательства нам потребуется вспомнить, как правильно умножать натуральные числа на $100, 10$ и т.д., а также вспомнить, что из себя вообще представляет понятие делимости и какими свойствами оно обладает.

Сначала приведем доказательство признака делимости числа на $10$ . Для удобства запишем его в виде теоремы, то есть представим как необходимое и достаточное условие.

Определение 3

Чтобы определить, делится ли целое число на $10$ , нужно посмотреть на его конечную цифру. Если она равна $0$ , то такое деление без остатка возможно, если она представляет из себя другую цифру, то нет.

Начнем с доказательства необходимости данного условия. Допустим, нам известно, что некое число a можно разделить на $10$ . Докажем, что в конце у него стоит $0$ .

Поскольку a можно разделить на $10$ , то согласно самому понятию делимости, должно существовать такое целое число $q$ , при котором будет верным равенство $a = 10 \cdot q$ . Вспомним правило умножения на $10$ : произведение $10 \cdot q$ должно быть целым числом, запись которого можно получить, если дописать к $q$ справа нуль. Значит, в записи числа $a = 10 \cdot q$ последним будет стоять $0$ . Необходимость можно считать доказанной, далее нам нужно доказать достаточность.

Допустим, что у нас есть целое число с $0$ на конце. Докажем, что оно делится на $10$ . Если последняя цифра целого числа равна нулю, то исходя из правила умножения на $10$ , его можно представить в виде $a = a_{1} \cdot 10$ . Здесь число $a_{1}$ получается из $a$ , в котором убрали последнюю цифру. По определению делимости из равенства $a = a_{1} \cdot 10$ будет следовать делимость $a$ на $10$ . Таким образом мы доказали достаточность условия.

Точно так же доказываются и другие признаки делимости – на $100, 1000$ и т.д.

Прочие случаи делимости на $1000$ , $100$ , $10$ и др.

В данном пункте мы расскажем о других способах определения делимости на $10$ . Так, если изначально у нас задано не число, а буквенное выражение, то воспользоваться указанными выше признаками мы не можем. Здесь нужно применить другие методы решения.

Первым таким методом является использование формулы бинома Ньютона. Решим такую задачу.

Пример 2

Условие: определите, можно ли разделить $11^{n} + 20 n - 21$ на $10$ при любом натуральном значении $n$ .

Решение

Cначала представим $11$ как сумму $10$ и единицы, а потом воспользуемся нужной формулой.

$11^{n} + 20 n - 21 = (10 + 1)^{n} + 20 n - 21 == (C_{n}^{0} \cdot 10^{n} + C_{n}^{1} \cdot 10^{n - 1} \cdot 1 + . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 10^{2} \cdot 10^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} \cdot 10 \cdot 1^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot 1^{n}) + + 20 n - 21 == (10^{n} + C_{n}^{1} \cdot 10^{n - 1} \cdot 1 + . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 10^{2} \cdot n \cdot 10 + 1) + + 20 n - 21 == 10^{n} + C_{n}^{1} \cdot 10^{n - 1} \cdot 1 + . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 10^{2} + 30 n - 20 == 10 \cdot (10^{n - 1} + C_{n}^{1} \cdot 10^{n - 2} + . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 10^{1} + 3 n - 2)$

Мы получили выражение, которое можно разделить на $10$ ,поскольку там есть соответствующий множитель. Значение выражения в скобках будет представлять из себя натуральное число при любом натуральном значении $n$ . Значит, исходное выражение $11^{n} + 20 n - 21$ можно разделить на десять при любом натуральном $n$ .

Ответ: данное выражение делится на $10$ .

Еще один метод, который возможно применить в данном случае, – математическая индукция. Покажем на примере задачи, как это делается.

Пример 3

Условие: выясните, будет ли $11^{n} + 20 n - 21$ делится на $10$ при любом натуральном $n$ .

Решение

Применим метод математической индукции. Если $n$ будет равен единице, то у нас получится $11^{n} + 20 n - 21 = 11^{1} + 20 \cdot 1 - 21 = 10$ . Деление десяти на десять возможно.

Допустим, что выражение $11^{n} + 20 n - 21$ будет делиться на $10$ при $n = k$ , то есть $11^{k} + 20 k - 21$ можно разделить на $10$ .

Учитывая предположение, сделанное ранее, попробуем доказать, что выражение $11^{n} + 20 n - 21$ делится на $10$ при $n = k + 1$ . Для этого нам нужно преобразовать его следующим образом:

$11^{k + 1} + 20 \cdot (k + 1) - 21 = 11 \cdot 11^{k} + 20 k - 1 = 11 \cdot (11^{k} + 20 k - 21) - 200 k + 230 == 11 \cdot (11^{k} + 20 k - 21) - 10 \cdot (20 k - 23)$

Выражение $11 \cdot (11^{k} + 20 k - 21)$ в данной разности можно разделить на $10$ , поскольку такое деление возможно и для $11^{k} + 20 k - 21$ , а $10 \cdot (20 k - 23)$ тоже делится на $10$ , потому что это выражение содержит множитель $10$ . Из этого мы можем заключить, что на $10$ делится вся разность.

Ответ:

Это и будет доказательством того, что $11^{n} + 20 n - 21$ делится на $10$ при любом натуральном значении n.

Если нам нужно проверить, делится ли на $10$ многочлен с переменной $n$ , допускается следующий подход: доказываем, что при $n = 10 \cdot m, n = 10 \cdot m + 1, \dots, n = 10 \cdot m + 9$ , где $m$ – целое число, значение исходного выражения можно разделить на $10$ . Это докажет нам делимость такого выражения при любом целом $n$ . Несколько примеров доказательств, где используется такой способ, можно найти в статье о других случаях делимости на три.