Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Признаки делимости
Содержание:
В этой статье мы поговорим о таком понятии, как признаки делимости. Это определенные действия, с помощью которых можно узнать, делится ли целое число a на другое число , которое в данном случае будет целым положительным. При это само деление не проводится. Очевидно, что для изучения данных признаков необходимо иметь общее представление о делимости чисел.
Когда мы говорим о признаках делимости, чаще всего нам приходится иметь дело не с самим числом, а с цифрами, из которых оно состоит.
С помощью определенных признаков делимости можно заключить, что некое число a можно разделить на другое число. Для одних нам будет нужна последняя цифра в записи: так можно сделать вывод о делимости на и . Сформулируем эти признаки.
Те числа, в конце которых стоят цифры делятся на.
На можно разделить те числа, которые заканчиваются на и .
Все числа, заканчивающиеся на , можно разделить на .
Приведем примеры.
Например, число обладает делимостью на , поскольку в конце у него стоит . Число разделить на нельзя, потому что последняя цифра в нем не удовлетворяет нужным условиям. Число мы можем разделить на , потому что оно заканчивается нулем.
Другие признаки делимости требуют предварительного анализа не одной, а нескольких последний цифр числа.
Признак делимости на выглядит так:
Число можно разделить на , если двузначное число, образованное двумя последними цифрами в нем, делится на .
О признаке делимости на мы говорим, когда число из трех последних цифр можно разделить на .
Вот примеры таких расчетов: делится на , так как в конце у него стоит , а нельзя разделить на : берем три последние цифры, убираем из них и получаем . Без остатка на это число разделить нельзя, значит, и делимостью на не обладает.
Остальные признаки делимости требуют анализа сразу всех цифр в числе.
Число можно разделить на или , если сумма всех цифр в нем делится на или соответственно.
После вычисления суммы цифр, возможно, придется использовать указанные признаки делимости еще раз. Вот примеры таких вычислений.
Проверим, делится ли . Подсчитаем сумму цифр: . Шестерка делится на , значит, и все число тоже можно разделить на .
Число можно разделить на , потому что суммой его цифр является , а его можно разделить на .
А вот пример последовательного применения признаков.
Проверим, можно ли разделить на . Считаем сумму цифр и получаем . Для проверки делимости этого числа на складываем цифры уже этого числа и получаем . Шесть можно разделить на , значит, делится на и тоже делится на .
В целом можно сказать, что с помощью признаков делимости можно перейти от анализа исходного числа к анализу меньшего числа, причем второе число мы проверяем, используя тот же самый признак делимости. Иначе говоря, в случае с длинными числами признаки нужно применять циклически для получения нужного результата.
Есть и другие признаки делимости, которые объединяют в себе несколько других.
Чтобы узнать, делится ли число на , нужно объединить два признака делимости – на и на .
Признаком делимости на является соответствие двум другим признакам делимости – на и .
К примеру, заканчивается на , следовательно, его можно разделить на . Считаем сумму цифр и получаем . Это число можно разделить на , получается, что это можно сделать и с исходным числом. В итоге заключаем, что делится без остатка на .
Число можно разделить на , поскольку его цифры в сумме дают , что делится на , и две последние цифры образуют число , которое можно разделить на .
Отметим, что иногда для проверки делимости требуется значительная вычислительная работа, что в некоторых случаях нецелесообразно. Иногда проще выполнить непосредственное деление, чтобы ответить на вопрос, делится ли это число на другое или нет.
Навигация по статьям