Деление чисел с разными знаками: примеры с решениями

Деление чисел с разными знаками: правило и примеры

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В этой статье мы рассмотрим деление положительных чисел на отрицательные и наоборот. Дадим подробный разбор правила деления чисел с разными знаками, а также приведем примеры.

Правило деления чисел с разными знаками

Правило для целых чисел с разными знаками, полученное в статье о делении целых чисел, справедливо также для рациональных и действительных чисел. Приведем более общую формулировку этого правила.

Правило деления чисел с разными знаками

При делении положительного числа на отрицательное и наоборот нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, а результат записать со знаком минус.

В буквенном виде это выглядит так:

$a \div (- b) = - | a | \div | b |$

$(- a) \div b = - | a | \div | b |$ .

Результатом деления чисел с разными знаками всегда является отрицательное число. Рассмотренное правило, по сути, сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел, так как модули делимого и делителя являются положительными.

Еще одна эквивалентная математическая формулировка данного правила имеет вид:

$a \div b = a \cdot b^{- 1}$

Чтобы разделить числа $a$ и $b$ , имеющие разные знаки, нужно число $a$ умножить на число, обратное числу $b$ , то есть $b^{- 1}$ . Данная формулировка применима на множестве рациональных и действительных чисел, она позволяет перейти от деления к умножению.

Рассмотрим теперь, как применять описанную выше теорию на практике.

Как делить числа с разными знаками? Примеры

Ниже мы рассмотрим несколько характерных примеров.

Пример 1. Как делить числа с разными знаками?

Разделить $- 35$ на $7$ .

Решение

Сначала запишем модули делимого и делителя:

$| - 35 | = 35, | 7 | = 7$ .

Теперь разделим модули:

$\frac{| - 35 |}{| 7 |} = \frac{35}{7} = 5$ .

Допишем перед результатом знак минус и получим ответ:

$\frac{- 35}{7} = - 5$ .

Теперь воспользуемся другой формулировкой правила и вычислим число, обратное $7$ .

$7^{- 1} = \frac{1}{7}$ .

Теперь проведем умножение:

$(- 35) \cdot \frac{1}{7} = - (| - 35 | \cdot \frac{1}{7}) = - \frac{35}{7} = - 5$ .

Ответ: -5

Пример 2. Как делить числа с разными знаками?

Вычислить значение $8 \div (- 60)$ .

Решение

По правилу, имеем:

$8 \div (- 60) = - (| 8 | \div | - 60 |) = - (8 \div 60) = - \frac{8}{60}$ .

Мы получили дробь, которую можно сократить на $4$ . После сокращения получаем:

$8 \div (- 60) = - \frac{8}{60} = - \frac{2}{15}$ .

Это и есть окончательный ответ.

Ответ: $- \frac{2}{15}$

Если мы делим дробные числа с рациональными знаками, делимое и делитель нужно представить в виде обыкновенных дробей.

Пример 3. Как делить числа с разными знаками?

Разделить смешанное число $- 3 \frac{3}{22}$ на десятичную дробь $0, (23)$ .

Решение

Модули делимого и делителя соответственно равны $3 \frac{3}{22}$ и $0, (23)$ . Переводя $3 \frac{3}{22}$ в обыкновенную дробь, получаем:

$3 \frac{3}{22} = \frac{3 \cdot 22 + 3}{22} = \frac{69}{22}$ .

Делитель также представим в виде обыкновенной дроби:

$0, (23) = 0, 23 + 0, 0023 + 0, 000023 = \frac{0, 23}{1 - 0, 01} = \frac{0, 23}{0, 99} = \frac{23}{99}$ .

Теперь делим обыкновенные дроби, выполняем сокращения и получаем результат:

$- (\frac{69}{22} \div \frac{23}{99}) = - (\frac{69}{22} \cdot \frac{99}{23}) = - (\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{1}) = - \frac{27}{2} = - 13 \frac{1}{2}$ .

Ответ: $- 13 \frac{1}{2}$

В заключение рассмотрим случай, когда делимое и делитель являются иррациональными числами и записываются в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

В такой ситуации частное записывается в виде числового выражения, которое по возможности упрощается. При необходимости вычисляется его приближенное значение с необходимой точностью.

Пример 4. Как делить числа с разными знаками?

Разделить числа $\frac{5}{7}$ и $- \sqrt[3]{2}$ .

Решение

По правилу деления чисел с разными знаками, запишем равенство:

$\frac{5}{7} \div (- \sqrt[3]{2}) = - (| \frac{5}{7} | \div | - \sqrt[3]{2} |) = - (\frac{5}{7} \div \sqrt[3]{2}) = - \frac{5}{7 \cdot \sqrt[3]{2}}$ .

Избавимся от иррациональности в знаменателе и получим окончательный ответ:

$- \frac{5}{7 \cdot \sqrt[3]{2}} = - \frac{5 \cdot \sqrt[3]{4}}{14}$ .

Ответ: $- \frac{5 \cdot \sqrt[3]{4}}{14}$