Специальное предложение
Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Свободные колебания. Пружинный маятник

Содержание:

Определение 1

Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.

Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.

F(t)=ma(t)=-mω2x(t).

Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

Fупр=-kx.

Определение 2

Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.

То есть груз с массой m, прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2.2.1, составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

Определение 3

Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.

Свободные колебания. Пружинный маятник

Рисунок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота

Нахождение круговой частоты ω0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:

ma=-kx=mω02x.

Значит, получаем:

ω0=km.

Определение 4

Частоту ω0 называют собственной частотой колебательной системы.

Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:

T=2πω0=2πmk.

Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

x0=mgk, тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

Определение 5

При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:

a(t)=x(t).

Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

ma-mx=-kx, или x¨+ω02x=0, где свободная частота ω02=km.

Если физические системы зависят от формулы x¨+ω02x=0, тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x=xmcos (ωt+φ0).

Свободные колебания

Определение 6

Уравнение вида x¨+ω02x=0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω0 или период Т.

Амплитуда xm и начальная фаза φ0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

Пример 1

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние l и моменте времени, равном t=0, производится его опускание без начальной скорости. Тогда xm=l, φ0=0. Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ±υ0, отсюда xm=mkυ0, φ0=±π2.

Амплитуда xm с начальной фазой φ0 определяются наличием начальных условий.

Свободные колебания

Рисунок 2.2.2. Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2.2.2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ, тогда возникает момент силы упругой деформации кручения Mупр:

Mупр=-xθ.

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

Iε=Mупр=-xθ или Iθ¨=-xθ, где моментом инерции обозначается I=IC, а ε – угловое ускорение.

Аналогично с формулой пружинного маятника:

ω0=xI, T=2πIx.

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Свободные колебания

Рисунок 2.2.3. Крутильный маятник.

Навигация по статьям

Выполненные работы по физической химии
  • Физическая химия

    произвести анализ моделей по вариантам

    • Вид работы:

      Практическая работа

    • Выполнена:

      25 апреля 2022 г.

    • Стоимость:

      3 100 руб

    Заказать такую же работу
  • Фармацевтическая химия

    Лекарственные растения и сырь седативного действия

    • Вид работы:

      Курсовая работа

    • Выполнена:

      9 апреля 2022 г.

    • Стоимость:

      2 600 руб

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Выполнение домашней работы по физике класс заданий

    • Вид работы:

      Домашняя работа

    • Выполнена:

      18 октября 2021 г.

    • Стоимость:

      800 руб

    Заказать такую же работу
  • Медицина

    Просьба подготовить презентацию на тему Физическая реабилитация при бронхоэктатической болезни у лиц пожилого возраста

    • Вид работы:

      Презентация (PPT, PPS)

    • Выполнена:

      27 мая 2021 г.

    • Стоимость:

      2 200 руб

    Заказать такую же работу
  • Органическая химия

    Контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 мая 2021 г.

    • Стоимость:

      1 700 руб

    Заказать такую же работу
  • Сестринское дело

    Участие МС в повышении мотивации родителей к вакцинации детей

    • Вид работы:

      Курсовая работа

    • Выполнена:

      14 мая 2021 г.

    • Стоимость:

      1 300 руб

    Заказать такую же работу
  • Не получается написать работу самому?

    Доверь это кандидату наук!