Магнетон Бора

Эта величина была названа в честь Нильсона Бора. Определение магнетона Бора по формуле:

${\mu }_B=\frac{eh}{2c{m}_e}$ в системе $СИ$, где $h$ считается в качестве постоянной Планка, $e$ – элементарного заряда, $m_e$ – массы электрона.

В зависимости от выбранной системы единиц значение магнетона Бора равняется:

• ${\mu }_B=927,400915\left(26\right)·{10}^{-26} Дж/Тл$;
• ${\mu }_B=927,400915\left(26\right)·{10}^{-23} эрг/Гс$
• ${\mu }_B=5,7883817555\left(79\right)·{10}^{-5} эВ/Тл$
• ${\mu }_B=5,7883817555\left(79\right) эВ/Гс$

Физический смысл величины ${\mu }_{В}$ понимается из полуклассического рассмотрения движения электрона по круговой орбите с радиусом $r$ и скоростью $v$. Данная система аналогична витку с током, сила которого равняется заряду, который был поделен на период вращения $I=\frac{ev}{2\mathrm{\pi r}}$. По классической электродинамике магнитный момент витка с током, охватывающего площадью $S$, в СГС равняется:

$\mu =\frac{IS}{c}=\frac{evr}{2c}=\frac{e{M}_l}{2mc}$, где $M_l=mvr$ является орбитальным моментом количества движения электрона. При учитывании квантового закона орбитальный момент $M_l$ электрона принимает только дискретные значения, кратные постоянной Планка, $M_l=hl$, с $l$, являющимся орбитальным квантовым числом, принимающим значения $0, 1, 2, \dots , n-1$, получаем выражение вида:

${\mu }_l=\frac{ehl}{2mc}={\mu }_B·l$.

Следовательно, магнитный момент электрона кратен магнетону Бора. Данный случай показывает важность ${\mu }_B$ в роли элементарного магнитного момента – «кванта» магнитного момента электрона.

Значение спинового магнитного момента ${\mu }_S=2{\mu }_{B}s$, что означает результат в $2$ раза больше ожидаемого при использовании формулы $\left(1\right)$, но $s=\frac{1}{2}$, поэтому ${\mu }_S={\mu }_B$. Данный факт следует из релятивистской квантовой теории электрона, основанной на уравнении Дирака.

Дипольный магнитный момент электрона

Определение магнитного заряда в системе СГС выполняется через известное выражение:

$g_m=\frac{eh}{2c}$.

Произведем выделение магнитного заряда в формуле магнетона Бора. Тогда упростим:

${\mu }_B=\frac{eh}{2c{m}_e}=\frac{e^2}{m_e{c}^2}·g_m=r_0·g_m$, где $r_0=\frac{e^2}{m_e{c}^2}=\frac{a_E{\lambda }_0}{2\pi }$ является классическим радиусом электрона, а $a_E=\frac{e^2}{ch}$ – электрической постоянной тонкой структуры, ${\lambda }_0=\frac{h}{m_{e}c}$ – комптоновской длиной волны электрона.

Отсюда следует, что в системе СГС размерность магнетона Бора совпадает с размерностью магнитного момента диполя. Это выражается при помощи формулы вида:

$p_B=r_0·g_m={\mu }_B$.

Система СИ

Если производить вычисления в системе $СИ$, то магнетон Бора выглядит иначе:

${\mu }_B=\frac{eh}{2m_e}$, а магнитный заряд:

$g_m=\frac{h}{e}$.

Для выделения магнитного заряда из выражения для магнетона Бора запишем:

${\mu }_B=\frac{e^2}{4\pi m_e}·g_m=\frac{r_0}{{\mu }_E}·g_m$, где $r_0=\frac{a_E{\lambda }_0}{2\pi }$ является классическим радиусом электрона, ${\mu }_E$ – магнитной постоянной.

Следовательно, размерность магнетона Бора в системе $СИ$ значительно отличается от размерности магнитного дипольного момента электрона. Тогда запись магнетона будет:

$p_B=r_0·g_m={\mu }_E{\mu }_B$.

Круговой виток тока

Большинство учебников с использованием системы $СИ$ предлагают неверное определение магнитного момента кругового тока:

$p_c=I·S$ с $I$, обозначающим электрический ток, а $S$ – площадь, которая им ограничена. Формально выражение аналогично находящемуся в системе СГС, где оно изначально трактовано неверно. На самом деле определение магнитного дипольного момента кругового тока в $СИ$ проходит:

$p_c={\mu }_E·I·S$, то есть с учитыванием магнитной постоянной.

Проблема, порождаемые магнетоном Бора

При известной величине магнетона производится оценка классической скорости движения заряда. В действительности запись классического выражения для дипольного магнитного момента приобретает вид:

$P_{Dcl}=r·g_m$, где $g_m=0.5{\mu }_{E}e\upsilon$ считается классическим определением «магнитного заряда». В этот же момент вид магнитного дипольного момента в механике обозначается как:

$P_q=r_0·g_{m0}$ с $r_0$ в качестве классического радиуса электрона, $g_{m0}=\frac{h}{e}$ – квантового значения «магнитного заряда». Если приравнять классическое и квантовое значение магнитного диполя, получим:

$P_{Dcl}=P_{Dq}$.

Для нахождения следующего значения магнитного заряда используется выражение:

$g_m=0,5{\mu }_{E}e\upsilon =\frac{h}{e}$, где производится оценка для скорости движения электрического заряда. Запись принимает вид:

${\upsilon }_{max}=\frac{2h}{{\mu }_E{e}^2}=\frac{c}{a_E}$.

Очевидно, что значение выше указанной скорости превышает значение скорости света в $137$ раз. Следовательно, классическая и релятивистская теория локальны при исследовании квантовых и магнитных полей. По релятивистской теории основное ограничение на скорость движения материальной частицы считается бесконечным возрастанием ее массы при скоростях, близких к скорости света. Случай с магнетоном Бора рассматривает движение электрического заряда, «отделенного» от его массы в микрообъекте. Существует определенная проблема, которая появляется при определении механического момента в квантовой механике.

Проблемы, порождаемые механическим моментом

Классическое определение механического момента записывается в качестве выражения:

$l_{zCl}={\left(r·p_m\right)}_z=m_0{\left(r·v\right)}_z$.

Квантовый предел характеризуется его значением:

$l_{zQ}=h·m, m=0, \pm 1, \pm 2, ...$.

Если приравнять классическое значение с квантовым для механического момента, получаем:

$l_{zCl}=l_{zQ}$.

Необходимо найти следующее значение для предельной скорости частицы, тогда:

${\upsilon }_{max}\left(r\right)=\frac{h}{r_0{m}_0}$.

Если радиус равняется классическому радиусу электрона $r_0$, скорость примет вид:

${\upsilon }_{max}\left(r\right)=\frac{c}{a_E}$, которая почти в $137$ раз больше скорости света.

Проблемы, порождаемые гравитоном Бора

Запись классического определения дипольного гравитационного магнитоподобного момента фиксируется в качестве выражения:

$P_{Gd}=r·g_G$, где $g_G=0,5{\mu }_G{m}_0\upsilon$ считается магнитоподобной гравитационной массой. Квантовое определение дипольного гравитационного магнитоподобного момента примет вид:

$P_{Gg}=r_{G0}·g_{G0}$ с $r_{G0}=\frac{a_G{\lambda }_0}{2\pi }$, являющейся гравитационным классическим радиусом электрона, $g_{G0}=\frac{h}{m_0}$ – квантом магнитоподобного гравитационного заряда. Если приравнять его классическое и квантовое значение, то:

$P_{Gcl}=P_{Gq}$.

Далее переходим к нахождению магнитоподобного гравитационного заряда:

$g_G=\frac{{\mu }_G{m}_0\upsilon }{2}=\frac{h}{m_0}$.

Максимальное значение для скорости перемещения гравитационной массы очевидно из формулы:

${\upsilon }_{max}=\frac{2h}{{\mu }_G{m}_0^2}=\frac{c}{a_G}$.

Оно больше скорости света на $40$ порядков. То есть скорость света не является ограничительным фактором в макромире, как это справедливо для теории относительности. Иначе говоря, элементарная частица в качестве недопускания наблюдателя в замкнутый объект и та, которая выбирается относительно произвольной системы отсчета.