Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Если отрезок $AB$ продолжить в обе стороны от точек $A$ и $B$, мы получим прямую $AB$. Тогда отрезок $AB$ – часть полученной прямой, ограниченный точками $A$ и $B$. Отрезок $AB$ объединяет точки $A$ и $B$, являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку $K$, лежащую между точками $A$ и $B$, можно сказать, что точка $K$ лежит на отрезке $AB$.

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки $C$) при заданных координатах концов отрезка ($A$ и $B$), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Середина отрезка на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая $Ox$ и несовпадающие точки на ней: $A$ и $B$. Этим точкам соответствуют действительные числа $x_A$ и $x_B$. Точка $C$ – середина отрезка $AB$: необходимо определить координату $x_C$.

Поскольку точка $C$ является серединой отрезка $АВ$, верным будет являться равенство: $\left|АС\right| = \left|СВ\right|$. Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

$\left|АС\right| = \left|СВ\right|\iff \left|x_C-x_A\right|=\left|x_B-x_C\right|$

Тогда возможно два равенства: $x_C-x_A=x_B-x_C$ и $x_C-x_A=-(x_B-x_C)$

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки $C$ : $x_C=\frac{x_A+x_B}{2}$ (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: $x_A=x_B$ , что невозможно, т.к. в исходных данных - несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка $AB$ с концами $A\left(x_A\right)$ и $B(x_B):$

$\frac{x_A+x_B}{2}$

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости $Оxy$, две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами $A\left(x_A, y_A\right)$ и  $B\left(x_B, y_B\right)$ . Точка $C$ – середина отрезка $AB$. Необходимо определить координаты $x_C$ и $y_C$ для точки $C$.

Возьмем для анализа случай, когда точки $A$ и $B$ не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей.$A_x, A_y ; B_x, B_y$ и $C_x ,C_y$ - проекции точек $A$, $B$ и $C$ на оси координат (прямые $Ох$и $Оy$).

Согласно построению прямые $A{A}_x, B{B}_x, C{C}_x$ параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства $АС = СВ$ следуют равенства: ${А}_x{С}_x = {С}_x{В}_x$ и ${А}_y{С}_y = {С}_y{В}_y$, и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка ${С}_x$ – середина отрезка ${А}_x{В}_x$, а ${С}_y$ – середина отрезка ${А}_y{В}_y$. И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

$x_C=\frac{x_A+x_B}{2}$ и $y_C=\frac{y_A+y_B}{2}$

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки $A$ и $B$ лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка $AB$ на плоскости с координатами концов $A (x_A,y_A)$ и $B (x_B, y_B)$ определяются как:

$(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})$

Середина отрезка в пространстве

Исходные данные: система координат $Оxyz$ и две произвольные точки с заданными координатами $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B (x_B, y_B, z_B)$. Необходимо определить координаты точки $C$, являющейся серединой отрезка $AB$.

$A_x, A_y, A_z ; B_x, B_y,B_z$ и $C_x, C_y, C_z$ - проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: $\left|A_x{C}_x\right|=\left|C_x{B}_x\right|, \left|A_y{C}_y\right|=\left|C_y{B}_y\right|,\left|A_z{C}_z\right|=\left|C_z{B}_z\right|$

Следовательно, точки $C_x, C_y,C_z$ являются серединами отрезков $A_x{B}_x, A_y{B}_y, A_z{B}_z$ соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

$x_C=\frac{x_A+x_B}{2}, y_c=\frac{y_A+y_B}{2}, z_c=\frac{z_A+Z_B}{2}$

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки $A$ и $B$ лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат $Oxy$, точки с заданными координатами $A(x_A,y_A)$ и $B(x_B, x_B)$ . Точка $C$ – середина отрезка $AB$.

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: $\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}·\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$ . Точка $C$ в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: $\overrightarrow{OA}=(x_A, y_A), \overrightarrow{OB}=(x_B,y_B)$ . Выполним некоторые операции над векторами в координатах  и получим: 

$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}·\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$

Следовательно, точка $C$ имеет координаты:

$\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

$C(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2})$

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.