Таблица производных. Доказательство формул

Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем $x_0=x$, где $x$ принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, $x$ является любым числом из области определения функции $f\left(x\right)=C$. Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при $∆x\to 0$:

$\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆f\left(x\right)}{∆x}=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{C-C}{∆x}=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{0}{∆x}=0$

Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение $\frac{0}{∆x}$. Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.

Итак, производная постоянной функции $f\left(x\right)=C$ равна нулю на всей области определения.

Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: $p=1, 2, 3, \dots$

Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

$\left(x^p\right)\text{'}=\underset{∆x\to 0}{\lim }=\frac{∆\left(x^p\right)}{∆x}=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{(x+∆x{)}^p-x^p}{∆x}$

Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:

$$\begin{gathered} (x+∆x{)}^p-x^p=C_p^0+x^p+C_p^1·x^{p-1}·∆x+C_p^2·x^{p-2}·(∆x{)}^2+...+ \\ +C_p^{p-1}·x·(∆x{)}^{p-1}+C_p^p·(∆x{)}^p-x^p= \\ =C_p^1·x^{p-1}·∆x+C_p^2·x^{p-2}·(∆x{)}^2+...+C_p^{p-1}·x·(∆x{)}^{p-1}+C_p^p·(∆x{)}^p \end{gathered}$$

Таким образом:

$$\begin{gathered} \left(x^p\right)\text{'}=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆\left(x^p\right)}{∆x}=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{(x+∆x{)}^p-x^p}{∆x}= \\ =\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{(C_p^1·x^{p-1}·∆x+C_p^2·x^{p-2}·(∆x{)}^2+...+C_p^{p-1}·x·(∆x{)}^{p-1}+C_p^p·(∆x{)}^p)}{∆x}= \\ =\underset{∆x\to 0}{\lim }(C_p^1·x^{p-1}+C_p^2·x^{p-2}·∆x+...+C_p^{p-1}·x·(∆x{)}^{p-2}+C_p^p·(∆x{)}^{p-1})= \\ =C_p^1·x^{p-1}+0+0+...+0=\frac{p!}{1!·(p-1)!}·x^{p-1}=p·x^{p-1} \end{gathered}$$

Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.

Чтобы привести доказательство для случая, когда $p$ - любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.

Рассмотрим два случая: когда $x$ положительны и когда $x$ отрицательны.

Итак, $x>0$. Тогда: $x^p>0$. Логарифмируем равенство $y=x^p$ по основанию $e$ и применим свойство логарифма:

$$\begin{gathered} y=x^p \\ \ln y=\ln x^p \\ \ln y=p·\ln x \end{gathered}$$

На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:

$$\begin{gathered} (\ln y)\text{'}=(p·\ln x) \\ \frac{1}{y}·y\text{'}=p·\frac{1}{x}\Rightarrow y\text{'}=p·\frac{y}{x}=p·\frac{x^p}{x}=p·x^{p-1} \end{gathered}$$

Теперь рассматриваем случай, когда $x$ – отрицательное число.

Если показатель $p$ есть четное число, то степенная функция определяется и при $x<0$, причем является четной: $$\begin{gathered} y\left(x\right)=-y\left(\right(-x{)}^p)\text{'}=-p·(-x{)}^{p-1}·(-x)\text{'}= \\ =p·(-x{)}^{p-1}=p·x^{p-1} \end{gathered}$$

Тогда $x^p<0$ и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Если $p$ есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при $x<0$, причем является нечетной: $y\left(x\right)=-y(-x)=-(-x{)}^p$. Тогда $x^p<0$, а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

$$\begin{gathered} y\text{'}\left(x\right)=(-(-x{)}^p)\text{'}=-((-x{)}^p)\text{'}=-p·(-x{)}^{p-1}·(-x)\text{'}= \\ =p·(-x{)}^{p-1}=p·x^{p-1} \end{gathered}$$

Последний переход возможен в силу того, что если $p$ - нечетное число, то $p-1$ либо четное число, либо нуль (при $p=1$), поэтому, при отрицательных $x$ верно равенство $(-x{)}^{p-1}=x^{p-1}$.

Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном $p$.

Выведем формулу производной, взяв за основу определение:

Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную $z=a^{∆x}-1$ ($z\to 0$ при $∆x\to 0$). В таком случае $a^{∆x}=z+1\Rightarrow ∆x={\log }_a(z+1)=\frac{\ln (z+1)}{\ln a}$. Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.

Осуществим подстановку в исходный предел:

$$\begin{gathered} \left(a^x\right)\text{'}=a^x·\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{a^{∆x}-1}{∆x}=a^x·\ln a·\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{z}}·\ln (z+1)}= \\ =a^x·\ln a·\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{1}{\ln (z+1{)}^{{\displaystyle \frac{1}{z}}}}=a^x·\ln a·\frac{1}{\ln \left(\underset{∆x\to 0}{\lim }(z+1{)}^{{\displaystyle \frac{1}{z}}}\right)} \end{gathered}$$

Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:

$\left(a^x\right)\text{'}=a^x·\ln a·\frac{1}{\ln \left(\underset{z\to 0}{\lim }(z+1{)}^{{\displaystyle \frac{1}{z}}}\right)}=a^x·\ln a·\frac{1}{\ln e}=a^x·\ln a$

Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых $x$ в области определения и любых допустимых значениях основания $а$ логарифма. Опираясь на определение производной, получим:

$$\begin{gathered} \left({\log }_{a}x\right)\text{'}=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(x+∆x)-{\log }_{a}x}{∆x}=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a{\displaystyle \frac{x+∆x}{x}}}{∆x}= \\ =\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{1}{∆x}·{\log }_a\left(1+\frac{∆x}{x}\right)=\underset{∆x\to 0}{\lim }{\log }_a{\left(1+\frac{∆x}{x}\right)}^{\frac{1}{∆x}}= \\ =\underset{∆x\to 0}{\lim }{\log }_a{\left(1+\frac{∆x}{x}\right)}^{\frac{1}{∆x}·\frac{x}{x}}=\underset{∆x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x}·{\log }_a{\left(1+\frac{∆x}{x}\right)}^{\frac{x}{∆x}}\right)= \\ =\frac{1}{x}·{\log }_a\underset{∆x\to 0}{\lim }{\left(1+\frac{∆x}{x}\right)}^{\frac{x}{∆x}}=\frac{1}{x}·{\log }_{a}e=\frac{1}{x}·\frac{\ln e}{\ln a}=\frac{1}{x·\ln a} \end{gathered}$$

Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство $\underset{∆x\to 0}{\lim }{\left(1+\frac{∆x}{x}\right)}^{\frac{x}{∆x}}=e$ является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.

Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.

Согласно определению производной функции синуса, получим:

$(\sin x)\text{'}=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+∆x)-\sin x}{∆x}$

Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:

$$\begin{gathered} (\sin x)\text{'}=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+∆x)-\sin x}{∆x}= \\ =\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{2·\sin {\displaystyle \frac{x+∆x-x}{2}}·\cos {\displaystyle \frac{x+∆x+x}{2}}}{∆x}= \\ =\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{\sin {\displaystyle \frac{∆x}{2}}·\cos \left(x+{\displaystyle \frac{∆x}{2}}\right)}{{\displaystyle \frac{∆x}{2}}}= \\ =\cos \left(x+\frac{0}{2}\right)·\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{\sin {\displaystyle \frac{∆x}{2}}}{{\displaystyle \frac{∆x}{2}}} \end{gathered}$$

Наконец, используем первый замечательный предел:

$\sin \text{'} x=\cos \left(x+\frac{0}{2}\right)·\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{\sin {\displaystyle \frac{∆x}{2}}}{{\displaystyle \frac{∆x}{2}}}=\cos x$

Итак, производной функции $\sin x$ будет $\cos x$.

Совершенно также докажем формулу производной косинуса:

$$\begin{gathered} \cos \text{'} x=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{\cos (x+∆x)-\cos x}{∆x}= \\ =\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{-2·\sin {\displaystyle \frac{x+∆x-x}{2}}·\sin {\displaystyle \frac{x+∆x+x}{2}}}{∆x}= \\ =-\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{\sin {\displaystyle \frac{∆x}{2}}·\sin \left(x+{\displaystyle \frac{∆x}{2}}\right)}{{\displaystyle \frac{∆x}{2}}}= \\ =-\sin \left(x+\frac{0}{2}\right)·\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{\sin {\displaystyle \frac{∆x}{2}}}{{\displaystyle \frac{∆x}{2}}}=-\sin x \end{gathered}$$

Т.е. производной функции $\cos x$ будет $–\sin x$.

Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:

$$\begin{gathered} tg\text{'}x={\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\text{'}}=\frac{\sin \text{'} x·\cos x-\sin x·\cos \text{'} x}{{\cos }^2 x}= \\ =\frac{\cos x·\cos x-\sin x·(-\sin x)}{{\cos }^2 x}=\frac{{\sin }^2 x+{\cos }^2 x}{{\cos }^2 x}=\frac{1}{{\cos }^2 x} \\ ctg\text{'}x={\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)}^{\text{'}}=\frac{\cos \text{'}x·\sin x-\cos x·\sin \text{'}x}{{\sin }^2 x}= \\ =\frac{-\sin x·\sin x-\cos x·\cos x}{{\sin }^2 x}=-\frac{{\sin }^2 x+{\cos }^2 x}{{\sin }^2 x}=-\frac{1}{{\sin }^2 x} \end{gathered}$$

Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:

$$\begin{gathered} sh\text{'}x={\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2}\left({\left(e^x\right)}^{\text{'}}-{\left(e^{-x}\right)}^{\text{'}}\right)= \\ =\frac{1}{2}\left(e^x-\left(-e^{-x}\right)\right)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=chx \\ ch\text{'}x={\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2}\left({\left(e^x\right)}^{\text{'}}+{\left(e^{-x}\right)}^{\text{'}}\right)= \\ =\frac{1}{2}\left(e^x+\left(-e^{-x}\right)\right)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=shx \\ th\text{'}x={\left(\frac{shx}{chx}\right)}^{\text{'}}=\frac{sh\text{'}x·chx-shx·ch\text{'}x}{c{h}^{2}x}=\frac{c{h}^{2}x-s{h}^{2}x}{c{h}^{2}x}=\frac{1}{c{h}^{2}x} \\ cth\text{'}x={\left(\frac{chx}{shx}\right)}^{\text{'}}=\frac{ch\text{'}x·shx-chx·sh\text{'}x}{s{h}^{2}x}=\frac{s{h}^{2}x-c{h}^{2}x}{s{h}^{2}x}=-\frac{1}{s{h}^{2}x} \end{gathered}$$