Квадратные неравенства, примеры, решения

В данном разделе мы собрали информацию о квадратных неравенствах и основных подходах к их решению. Закрепим материал разбором примеров.

Что представляет собой квадратное неравенство

Давайте посмотрим, как по виду записи различать неравенства различных видов и выделять среди них квадратные.

Вторым названием квадратных уравнений является название «неравенства второй степени». Объяснить наличие второго названия можно следующим образом. В левой части неравенства находится многочлен второй степени – квадратный трехчлен. Применение к квадратным неравенствам термина «квадратичные неравенства» некорректен, так как квадратичными  являются функции, которые задаются уравнениями вида $y = a · x^{ \; \; 2 \; } + b · x + c$.

Приведем пример квадратного неравенства:

Или вот такое неравенство:

  Покажем несколько примеров квадратных неравенств:

Особое внимание нужно обратить на тот факт, что коэффициент при $x^{ \; \; 2 \; }$ считается неравным нулю. Объясняется это тем, что иначе мы получим линейное неравенство вида $b · x + c > 0$, так как квадратная переменная при умножении на ноль сама станет равной нулю. При этом, коэффициенты $b$ и c могут быть равны нулю как вместе, так и по отдельности.

Способы решения квадратных неравенств

Основным метода три:

Графический метод

Метод предполагает проведение построения и анализа графика квадратичной функции $y = a · x^{ \; \; 2 \; } + b · x + c$ для квадратных неравенств $a · x^{ \; \; 2 \; } + b · x + c < 0 \; ( \; \le \; , \; > \; , \; \ge \; )$. Решением квадратного неравенства являются промежутки или интервалы, на которых указанная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Метод интервалов

Решить квадратное неравенство с одной переменной можно методом интервалов. Метод применим для решения любого вида неравенств, не только квадратных. Суть метода в том, чтобы определить знаки промежутков, на которые разбивается ось координат нулями трехчлена $a · x^{ \; \; 2 \; } + b · x + c$ при их наличии.

Для неравенства $a · x^{ \; \; 2 \; } + b · x + c < 0$ решениями являются промежутки со знаком минус, для неравенства $a · x^{ \; \; 2 \; } + b · x + c > 0$, промежутки со знаком плюс. Если мы имеем дело с нестрогими неравенствами, то решением становится интервал, который включает точки, которые соответствуют нулям трехчлена.

Выделение квадрата двучлена

Принцип выделения квадрата двучлена в левой части квадратного неравенства состоит в выполнении равносильных преобразований, которые позволяют перейти к решению равносильного неравенства вида ${ \; \; ( \; \; x \; \; - \; \; p \; \; ) \; }^{ \; \; 2 \; } < q \; ( \; \le \; , \; > \; , \; \ge \; )$, где $p$ и $q$ – некоторые числа.

Неравенства, сводящиеся к квадратным

К квадратным неравенствам с помощью равносильных преобразований можно прийти от неравенств других видов. Сделать это можно разными способами. Например, перестановкой в данном неравенства слагаемых или переносом слагаемых из одной части в другую.

Приведем пример. Рассмотрим равносильное преобразование неравенства $5 \le 2 · x - 3 · x^{ \; \; 2 \; }$. Если мы перенесем все слагаемые из правой части в левую, то получим квадратное неравенство вида $3 · x^{ \; \; 2 \; } - 2 · x + 5 \le 0$.

Примером неравенств, которые часто сводятся к квадратным, могут служить иррациональные и логарифмические неравенства. Так, например, неравенство $\sqrt{ \; 2 \; · \; x^{ \; \; \; 2 \; \; } \; + \; 5 } < \sqrt{ \; x^{ \; \; \; 2 \; \; } \; + \; 6 \; · \; x \; + \; 14 }$

равносильно квадратному неравенству $x^{ \; \; 2 \; } - 6 · x - 9 < 0$, а логарифмическое неравенство ${\log }_{ \; \; 3 \; } \; ( \; x^{ \; \; \; 2 \; \; } \; + \; x \; + \; 7 \; ) \ge 2$  – неравенству $x^{ \; \; 2 \; } + x - 2 \ge 0$.