Превращения энергии при свободных механических колебаниях

Если тело совершает свободные механические колебания, в нем происходят периодические превращения кинетической и потенциальной энергии. Чем больше оно отклоняется от положения равновесия, тем меньше его скорость и кинетическая энергия и тем больше энергия потенциальная. В точке самого большого отклонения кинетическая энергия становится нулевой, а потенциальная, напротив, максимальной. В случае, когда груз помещен на пружину, расположенную горизонтально, его потенциальной энергией становится энергия упругих деформаций этой пружины. Математический маятник использует энергию поля тяготения Земли.

Максимальной скорости колеблющееся тело достигает при прохождении положения равновесия. Его кинетическая энергия в данный момент максимальна, а потенциальная – минимальна. Рост одной энергии происходит за счет уменьшения другой: когда растет потенциальная энергия, кинетическая уменьшается, и наоборот.

Рисунок $2.4.1.$ Моделирование превращений энергии при гармонических колебаниях.

При условии отсутствия трения в колебательной системе его полная механическая энергия в процессе свободных колебаний сохраняется в неизменности.

Найти энергию груза, помещенного на пружину, можно с помощью следующих формул:

$$\begin{gathered} E=E_k+E_p=\frac{m{\upsilon }^2}{2}+\frac{k{x}^2}{2}, {\omega }_0^2=\frac{k}{m}, \\ (E_p{)}_{max}=\frac{k{x}_m^2}{2}, (E_k{)}_{max}=\frac{m{\upsilon }_m^2}{2}=\frac{m{\omega }_0^2{x}_m^2}{2}=(E_p{)}_{max}. \end{gathered}$$

Для математического маятника, совершающего малые колебания, будут верны следующие расчеты:

$$\begin{gathered} E=E_k+E_p=\frac{m{\upsilon }^2}{2}+mgh=\frac{m{\upsilon }^2}{2}+\frac{mg{x}^2}{2l}, {\omega }_0^2=\frac{g}{l}, \\ (E_p{)}_{max}=mg{h}_m=\frac{mg{x}_m^2}{2l}, (E_k{)}_{max}=\frac{m{\upsilon }_m^2}{2}=\frac{m{\omega }_0^2{x}_m^2}{2}=(E_p{)}_{max}. \end{gathered}$$

Параметр $h_m$ означает максимальную высоту подъема маятника, находящегося в поле тяготения Земли, а $x_m$ и ${\upsilon }_m={\omega }_0{x}_m$ являются максимальными значениями отклонений маятника от равновесия и его скорости.

Попробуем создать графическую иллюстрацию превращений энергии при гармонических колебаниях без учета силы трения. Возьмем груз, закрепленный на пружине $k$, масса которого составляет $m$. Процесс смещения груза из равновесного положения и его скорость будут изменяться в соответствии со следующим законом:

$x\left(t\right)=x_m\cos \left({\omega }_{0}t\right)$, где ${\omega }_0^2=\frac{k}{m}$,

$\upsilon \left(t\right)=-\omega x_m\sin \left({\omega }_{0}t\right)$.

Отсюда мы можем вывести, что:

$E_p\left(t\right)=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}k{x}_m^2 {\cos }^2{\omega }_{0}t=\frac{1}{4}k{x}_m^2(1+\cos 2{\omega }_{0}t)$,

$E_k\left(t\right)=\frac{1}{2}m{\upsilon }^2=\frac{1}{2}k{\omega }_0^2{x}_m^2 {\sin }^2{\omega }_{0}t=\frac{1}{4}k{x}_m^2(1-\cos 2{\omega }_{0}t)$.

На иллюстрации показаны графики двух функций – $E_p\left(t\right)$ и $E_k\left(t\right)$. В течение всего периода колебаний оба вида энергии – потенциальная и кинетическая – достигают максимума дважды, а сумма $E_p\left(t\right)+E_k\left(t\right)=E=const$ остается неизменной.

Рисунок $2.4.2$ Схема превращения энергии при гармонических колебаниях.

Связь сил трения с затухающими колебаниями в системе

В действительности на любую колебательную систему неизбежно воздействуют силы сопротивления (трения), из-за чего часть механической энергии становится внутренней энергией теплового движения молекул и атомов, а колебания постепенно затухают.

Рисунок $2.4.3.$ Процесс затухания колебаний под воздействием сил трения.

Иными словами, скорость затухания колебания зависит от силы трения.

Также существует зависимость между частотой свободных колебаний и скоростью их затухания. Воздействие сил трения уменьшает собственную частоту, что, однако, становится заметным только тогда, когда эти силы достаточно велики и затухание колебаний происходит быстро.

Понятие добротности колебательной системы

У колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, существует такая важная черта, как добротность.

$Q=\pi N=\pi \frac{\tau }{T}$.

Чем медленнее затухают механические свободные колебания, тем выше показатель добротности системы. Значение этого параметра для системы, изображенной на рисунке выше, составляет приблизительно $15$ единиц.

Показатель добротности может измеряться сотнями и тысячами. Само по себе это понятие заключает в себе глубокий смысл. Добротность может быть определена следующим энергетическим соотношением:

$Q=2\pi \frac{Запас энергии в колебательной системе}{Потеря энергии за 1 период колебаний}$.

Иначе говоря, с помощью добротности можно охарактеризовать, какие убытки энергии происходят в системе из-за трения в течение определенного интервала времени (одного периода колебаний).