Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры.

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

К примеру, алгебраическая дробь $\frac{3·x^2+6·x·y}{6·x^3·y+12·x^2·y^2}$  может быть сокращена на число $3$, в итоге получим: $\frac{x^2+2·x·y}{6·x^3·y+12·x^2·y^2}$ . Эту же дробь мы можем сократить на переменную $х$, и это даст нам выражение $\frac{3·x+6·y}{6·x^2·y+12·x·y^2}$. Также заданную дробь возможно сократить на одночлен $3·x$ или любой из многочленов $x+2·y$,$3·x+6·y$, $x^2+2·x·y$ или $3·x^2+6·x·y$.

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от $1$.

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби $\frac{3·x^2}{3·y}$ совершенно понятно, что общим множителем является число $3$.

В дроби $\frac{-x·y}{5·x·y·z^3}$ также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на $х$, или $y$, или на $х·y$. И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь $\frac{x^3-1}{x^2-1}$  мы можем сократить на $х-1$, при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь $\frac{x^3-x^2+x-1}{x^3+x^2+4·x+4}$  подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

• нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
• в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где $a$,$b$,$c$ – некие многочлены, причем $b$ и $c$ – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду $\frac{a·c}{b·c}$ , в котором мы сразу замечаем общий множитель $c$. Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида $\frac{a}{b}$ .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны $1$ на всей ОДЗ переменных этой дроби:

$$\begin{gathered} \frac{5}{5}=1; \\ \frac{{\displaystyle -\frac{2}{3}}}{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}=1; \\ \frac{{\displaystyle x}}{x}=1; \\ \frac{-3,2·x^3}{-3,2·x^3}=1; \\ \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}·x-x^2·y}}{\frac{1}{2}·x-x^2·y}; \end{gathered}$$  

и т.п.

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, $\frac{24}{1260}=\frac{2·2·2·3}{2·2·3·3·5·7}=\frac{2}{3·5·7}=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 105}}$

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

$\frac{24}{1260}=\frac{2^3·3}{2^2·3^2·5·7}=\frac{2^{3-2}}{3^{2-1}·5·7}=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 105}}$  

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель $2^2·3$). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

$\frac{24}{1260}=\frac{2^3·3}{2^2·3^2·5·7}=\frac{2^3}{2^2}·\frac{3}{3^2}·\frac{1}{5·7}=\frac{2}{1}·\frac{1}{3}·\frac{1}{35}=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 105}}$

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.