Решение линейных уравнений с одной переменной

В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.

Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.

Что такое линейное уравнение

Такая формулировка использована в учебнике алгебры ($7$ класс) Ю.Н.Макарычева.

В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид $a·x=b$ при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение $5·x=2·x+6$ – также линейное.

А вот учебник алгебры ($7$ класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:

Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи $a·x+b=0$, где $x$ – переменная; $a, b$ – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид $a·x+b=0$, определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.

При таком подходе уравнение $5·x+8=0$ – линейное, а $5·x=-8$ -  уравнение, сводящееся к линейному.

Принцип решения линейных уравнений

Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.

Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:

• перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
• умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Таким образом, преобразуем линейное уравнение $a·x+b=0$, перенеся слагаемое $b$ из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: $a·x=-b$.

Далее мы разделим обе части равенства на число $а$, при этом условившись, что это число отлично от нуля, иначе деление станет невозможным. Случай, когда $а=0$, рассмотрим позже.

Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида $x=-\frac{b}{a}$. Т.е., когда $a\ne 0$, исходное уравнение $a·x+b=0$ равносильно равенству $x=-\frac{b}{a}$, в котором очевиден корень $-\frac{b}{a}$.

Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня $-\frac{b}{a}$ как $x_1$. Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением $x_2$. И конечно: $x_2\ne x_1$, а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию $x_1-x_2\ne 0$. С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
$a·x_1+b=0$ и $a·x_2+b=0$.
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:

$a·x_1+b-(a·x_2+b)=0-0$, отсюда: $a·(x_1-x_2)+(b-b)=0$ и далее $a·(x_1-x_2)=0$. Равенство $a·(x_1-x_2)=0$ является неверным, поскольку ранее условием было задано, что $a\ne 0$ и $x_1-x_2\ne 0$. Полученное противоречие и служит доказательством того, что при $a\ne 0$ линейное уравнение $a·x+b=0$ имеет лишь один корень.

Обоснуем еще два пункта условий, содержащие $a=0$.

Когда $a=0$ линейное уравнение $a·x+b=0$ запишется как $0·x+b=0$. Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x, подставив его в равенство $0·x+b=0$, получим$b=0$. Равенство справедливо при $b=0$; в прочих случаях, когда $b\ne 0$, равенство становится неверным.

Таким образом, когда $a=0$ и $b=0$, любое число может стать корнем линейного уравнения $a·x+b=0$, поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство $0=0$. Когда же $a=0$ и $b\ne 0$ линейное уравнение $a·x+b=0$ вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо $x$ любое число, получаем неверное числовое равенство $b=0$.

Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:

• по виду записи определяем значения коэффициентов $a$ и $b$ и анализируем их;
• при $a=0$ и $b=0$ уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
• при $a=0$ и $b\ne 0$ заданное уравнение не будет иметь корней;
• при $a$, отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:

1. перенесем коэффициент $b$ в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду $a·x=-b$;
2. обе части полученного равенства делим на число $a$, что даст нам искомый корень заданного уравнения: $x=-\frac{b}{a}$.

Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.

Напоследок уточним, что уравнения вида $a·x=b$ решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число $b$ в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при $a\ne 0$ можно сразу выполнять деление частей уравнения на число $a$.

Таким образом, чтобы найти решение уравнения $a·x=b$, используем такой алгоритм:

• при $a=0$ и $b=0$ уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
• при $a=0$ и $b\ne 0$ заданное уравнение не будет иметь корней;
• при $a$, не равном нулю, обе части уравнения делятся на число $a$, что дает возможность найти единственный корень, который равен $\frac{b}{a}$.

Примеры решения линейных уравнений

Для наглядности приведем решение уравнения записи $a·x=b$.