Уравнение прямой с угловым коэффициентом: теория, примеры, решение задач

Продолжение темы уравнение прямой на плоскости основывается на изучении прямой линии из уроков алгебры. Данная статья дает обобщенную информацию по теме уравнения прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим определения, получим само уравнение, выявим связь с другими видами уравнений. Все будет рассмотрено на примерах решений задач.

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямой

Перед записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси $Ох$ с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат $Ох$на плоскости.

Когда прямая параллельна $Ох$или происходит совпадение в ней, угол наклона равен $0$. Тогда угол наклона заданной прямой $\alpha$ определен на промежутке $[0, \pi )$.

Стандартное обозначение буквой $k$. Из определения получим, что $k=tg \alpha$. Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Если известен угловой коэффициент, а необходимо найти угол наклона к оси абсцисс, тогда следует учитывать значение углового коэффициента. Если $k>0$, тогда угол прямой острый и находится по формуле $\alpha =arctg k$. Если $k<0$, тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле $\alpha =\pi -arctg\left|k\right|$.

Уравнение с угловым коэффициентом

Уравнение вида $y=k·x+b$, где $k$ является угловым коэффициентом, а $b$ некоторым действительным числом, называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Уравнение характерно для любой прямой, непараллельной оси $Оу$.

Если подробно рассмотреть прямую на плоскости в фиксированной системе координат, которая задана уравнением с угловым коэффициентом, который имеет вид $y=k·x+b$.  В данном случае значит, что уравнению соответствуют координаты любой точки прямой. Если подставить координаты точки $М$, $M_1(x_1, y_1)$,  в уравнение$y=k·x+b$, тогда в этом случае прямая будет проходить через эту точку, иначе точка не принадлежит прямой.

Известно, что прямая определена уравнением $y=k·x+b$, проходящим через $M_1(0, b)$, при подстановке получили равенство вида $b=k·0+b\iff b=b$. Отсюда можно сделать вывод, что уравнение прямой с угловым коэффициентом $y=k·x+b$ на плоскости определяет прямую, которая проходит через точку $\left(0, b\right)$. Она образует угол $\alpha$с положительным направлением оси $Ох$, где $k=tg \alpha$.

Рассмотрим на примере прямую, определенную при помощи углового коэффициента, заданного по виду $y=\sqrt{3}·x-1$. Получим, что прямая пройдет через точку с координатой $\left(0, -1\right)$ с наклоном в $\alpha =arctg\sqrt{3}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ радиан по положительному направлению оси $Ох$. Отсюда видно, что коэффициент равен $\sqrt{3}$.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Необходимо решить задачу, где необходимо получить уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящим через точку $M_1(x_1, y_1)$.

Равенство $y_1=k·x+b$ можно считать справедливым, так как прямая проходит через точку $M_1(x_1, y_1)$. Чтобы убрать число b, необходимо из левой и правой частей вычесть уравнение с угловым коэффициентом. Из этого следует, что $y-y_1=k·(x-x_1)$.  Данное равенство называют уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящая через координаты точки $M_1(x_1, y_1)$.

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнений прямой и обратно

Такое уравнение не всегда применимо для решения задач, так как имеет не совсем удобную запись. Для этого необходимо представлять в другом виде. Например, уравнение вида $y=k·x+b$ не позволяет записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора. Для этого нужно научиться представлять уравнениями другого вида.

Можем получить каноническое уравнение прямой на плоскости, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом. Получаем $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$. Необходимо слагаемое $b$ перенести в левую часть и поделить на выражение полученного неравенства. Тогда получим уравнение вида $y=k·x+b\iff y-b=k·x\iff \frac{k·x}{k}=\frac{y-b}{k}\iff \frac{x}{1}=\frac{y-b}{k}$.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом стало каноническим уравнением данной прямой.

Общее уравнение прямой проще всего получить из $y=k·x+b$, но для этого необходимо произвести преобразования: $y=k·x+b\iff k·x-y+b=0$. Производится переход из общего уравнения прямой к уравнениям другого вида.

Решим задачу обратную данной.

Необходимо перейти от общего вида уравнения $Ax+By+C=0$, где $B\ne 0$, к уравнению с угловым коэффициентом. для этого решаем уравнение относительно у. Получим $Ax+By+C=0\iff -\frac{A}{B}·x-\frac{C}{B}$.

Результат и является уравннием с угловым коэффициентом, который равняется $-\frac{A}{B}$.

Аналогичным образом решается уравнение вида $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$, которое называют уравнение прямой в отрезках, или каноническое вида $\frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}$. Нужно решить его относительно у, только тогда получим уравнение с угловым коэффициентом:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\iff \frac{y}{b}=1-\frac{x}{a}\iff y=-\frac{b}{a}·x+b$.

Каноническое уравнение можно привести к виду с угловым коэффициентом. Для этого:

$$\begin{gathered} \frac{x-x_1}{a_x}=\frac{y-y_1}{a_y}\iff a_y·(x-x_1)=a_x·(y-y_1)\iff \\ \iff a_x·y=a_y·x-a_y·x_1+a_x·y_1\iff y=\frac{a_y}{a_x}·x-\frac{a_y}{a_x}·x_1+y_1 \end{gathered}$$

Для решения таких заданий следует приводит параметрические уравнения прямой вида $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+a_x·\lambda \\ y=y_1+a_y·\lambda \end{array}\right.$ к каноническому уравнению прямой, только после этого можно переходить к уравнению с угловым коэффициентом.