Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения

Условие: найдите область значений $y = arc\sin x$.

Решение

В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке $[-1; 1]$. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.

$y\text{'} = {\left(arc\sin x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений $x$, расположенных в интервале $[-1; 1]$, то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при $x$, равном $-1$, а самое большое – при $x$, равном $1$.

$$\begin{gathered} \underset{x\in \left[-1; 1\right]}{min}arc\sin x=arc\sin \left(-1\right)=-\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \underset{x\in \left[-1; 1\right]}{max}arc\sin x=arc\sin 1=\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}} \end{gathered}$$

Таким образом, область значений функции арксинус будет равна $E(arc\sin x)=\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$.

Ответ:  $E(arc\sin x)=\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$

Условие: вычислите область значений $y=x^4-5x^3+6x^2$ на заданном отрезке $[1; 4]$.

Решение 

Как найти значение функции? Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.

Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:

$$\begin{gathered} y\text{'}={\left(x^4-5x^3+6x^2\right)}^{\text{'}}=4x^3+15x^2+12x=x\left(4x^2-15x+12\right) \\ y\text{'}=0\iff x(4x^2-15x+12)=0 \\ {x}_1=0\notin \left[1; 4\right] или 4x^2-15x+12=0 \\ D={\left(-15\right)}^2-4·4·12=33 \\ {x}_2=\frac{15-\sqrt{33}}{8}\approx 1.16\in \left[1; 4\right]; x_3=\frac{15+\sqrt{33}}{8}\approx 2.59\in \left[1; 4\right] \end{gathered}$$

Теперь найдем значения заданной функции в концах отрезка и точках $x_2=\frac{15-\sqrt{33}}{8}; x_3=\frac{15+\sqrt{33}}{8}$:

$$\begin{gathered} y\left(1\right)=1^4-5·1^3+6·1^2=2 \\ y\left(\frac{15-\sqrt{33}}{8}\right)={\left(\frac{15-\sqrt{33}}{8}\right)}^4-5·{\left(\frac{15-\sqrt{33}}{8}\right)}^3+6·{\left(\frac{15-\sqrt{33}}{8}\right)}^2= \\ =\frac{117+165\sqrt{33}}{512}\approx 2.08 \\ y\left(\frac{15+\sqrt{33}}{8}\right)={\left(\frac{15+\sqrt{33}}{8}\right)}^4-5·{\left(\frac{15+\sqrt{33}}{8}\right)}^3+6·{\left(\frac{15+\sqrt{33}}{8}\right)}^2= \\ =\frac{117-165\sqrt{33}}{512}\approx -1.62 \\ y\left(4\right)=4^4-5·4^3+6·4^2=32 \end{gathered}$$

Как найти множество значений функции? Значит, множество значений функции будет определяться отрезком $\left[\frac{117-165\sqrt{33}}{512}; 32\right]$.

Ответ: $\left[\frac{117-165\sqrt{33}}{512}; 32\right]$.

Условие: вычислите область значений функции $y=\frac{1}{x^2-4}$ на интервале $(-2; 2)$.

Решение

Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке

$$\begin{gathered} y\text{'}={\left(\frac{1}{x^2-4}\right)}^{\text{'}}=\frac{-2x}{(x^2-4{)}^2} \\ y\text{'}=0\iff \frac{-2x}{(x^2-4{)}^2}=0\iff x=0\in (-2; 2) \end{gathered}$$

У нас получилось максимальное значение, равное $0$, поскольку именно в этой точке происходит перемена знака функции и график переходит к убыванию. См. на иллюстрацию:

То есть,  $y\left(0\right)=\frac{1}{0^2-4}=-\frac{1}{4}$ будет максимальным значением функции.

Теперь определим поведение функции при таком x, который стремится к $-2$ с правой стороны и к $+2$ с левой стороны. Иными словами, найдем односторонние пределы:

$$\begin{gathered} \underset{x\to -2+0}{\lim }\frac{1}{x^2-4}=\underset{x\to -2+0}{\lim }\frac{1}{(x-2)(x+2)}= \\ =\frac{1}{\left(-2+0-2\right){\displaystyle \left(-2+0+2\right)}}=-\frac{1}{4}·\frac{1}{+0}=-\infty \\ \underset{x\to 2+0}{\lim }\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x^2-4}}=\underset{x\to 2+0}{\lim }\frac{1}{(x-2)(x+2)}= \\ =\frac{1}{\left(2-0-2\right){\displaystyle \left(2-0+2\right)}}=\frac{1}{4}·\frac{1}{-0}=-\infty \end{gathered}$$

У нас получилось, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до $-\frac{1}{4}$ тогда, когда аргумент изменяется в пределах от $-2$ до $0$. А когда аргумент меняется от $0$ до $2$, значения функции убывают к минус бесконечности. Следовательно, множеством значений заданной функции на нужном нам интервале будет $(-\infty ; -\frac{1}{4}]$.

Ответ: $(-\infty ; -\frac{1}{4}]$.

Условие: укажите множество значений $y=tg x$ на заданном интервале $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$.

Решение

Нам известно, что в общем случае производная тангенса в $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ будет положительной, то есть функция будет возрастать. Теперь определим, как ведет себя функция в заданных границах:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}+0}{\lim }tg x=tg\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}+0\right)=-\infty \\ \underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}-0}{\lim }tg x=tg\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-0\right)=+\infty \end{gathered}$$

Мы получили рост значений функции от минус бесконечности к плюс бесконечности при изменении аргумента от $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ до $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$,и можно сказать, что множеством решений данной функции будет множество всех действительных чисел.

Ответ: $\left(-\infty ; +\infty \right)$.

Условие: определите, какова область значений функции натурального логарифма $y = \ln x$.

Решение

Нам известно, что данная функция является определенной при положительных значениях аргумента $D\left(y\right)=\left(0; +\infty \right)$. Производная на заданном интервале будет положительной: $y\text{'}=\left(\ln x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$. Значит, на нем происходит возрастание функции. Далее нам нужно определить односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к $0$ (в правой  части), и когда $x$ стремится к бесконечности:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0+0}{\lim }\ln x=\ln (0+0)=-\infty \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\ln x=\ln \left(+\infty \right)=+\infty \end{gathered}$$

Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений $x$ от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.

Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.

Условие: определите, какова область значений функции $y=\frac{9}{x^2+1}$.

Решение

Данная функция является определенной при условии, что $x$ – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:

$$\begin{gathered} y\text{'}={\left(\frac{9}{x^2+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{-18x}{(x^2+1{)}^2} \\ y\text{'}=0\iff x=0 \\ y\text{'}\le 0\iff x\ge 0 \\ y\text{'}\ge 0\iff x\le 0 \end{gathered}$$

В итоге мы определили, что данная функция будет убывать, если $x\ge 0$; возрастать, если $x\le 0$; она имеет точку максимума $y\left(0\right)=\frac{9}{0^2+1}=9$ при переменной, равной $0$.

Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{9}{x^2+1}=\frac{9}{{\displaystyle {\left(-\infty \right)}^2}{\displaystyle +}{\displaystyle 1}}=9·\frac{1}{+\infty }=+0 \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle x^2+1}}=\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle {\left(+\infty \right)}^2+1}}=9·\frac{1}{+\infty }=+0 \end{gathered}$$

Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.

Подведем итоги: когда аргумент изменяется от минус бесконечности до нуля, то значения функции возрастают от $0$ до $9$. Когда значения аргумента меняются от $0$ до плюс бесконечности, соответствующие значения функции будут убывать от $9$ до $0$. Мы отобразили это на рисунке:

На нем видно, что областью значений функции будет интервал $E\left(y\right)=(0; 9]$

Ответ: $E\left(y\right)=(0; 9]$

Условие: определите, какой будет область значений $y=\frac{x}{x-2}$.

Решение

Поскольку знаменатель функции не должен быть обращен в $0$, то $D\left(y\right)=\left(-\infty ; 2\right)\cup \left(2; +\infty \right)$.

Начнем с определения множества значений функции на первом отрезке $\left(-\infty ; 2\right)$, который представляет из себя открытый луч. Мы знаем, что функция на нем будет убывать, то есть производная данной функции будет отрицательной.

$$\begin{gathered} \underset{x\to 2-0}{\lim }\frac{x}{x-2}=\frac{2-0}{2-0-2}=\frac{2}{-0}=-\infty \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{x-2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-2+2}{x-2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1+\frac{2}{x-2}\right)=1+\frac{2}{-\infty -2}=1-0 \end{gathered}$$

Тогда в тех случаях, когда аргумент изменяется по направлению к минус бесконечности, значения функции будут асимптотически приближаться к $1$. Если же значения x меняются от минус бесконечности до $2$, то значения будут убывать от $1$ до минус бесконечности, т.е. функция на этом отрезке примет значения из интервала $\left(-\infty ; 1\right)$. Единицу мы исключаем из наших рассуждений, поскольку значения функции ее не достигают, а лишь асимптотически приближаются к ней.

Для открытого луча $\left(2; +\infty \right)$ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 2+0}{\lim }\frac{x}{x-2}=\frac{2+0}{2+0-2}=\frac{2}{+0}=+\infty \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle x}}{{\displaystyle x-2}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-2+2}{x-2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{2}{x-2}\right)=1+\frac{2}{+\infty -2}=1+0 \end{gathered}$$

Значения функции на данном отрезке определяются множеством $\left(1; +\infty \right)$. Значит, нужная нам область значений функции, заданной в условии, будет объединением множеств $\left(-\infty ; 1\right)$ и $\left(1; +\infty \right)$.

Ответ: $E\left(y\right)=\left(-\infty ; 1\right)\cup \left(1; +\infty \right)$.

Условие: определите область значений синуса $y = \sin x$.

Решение

Синус относится к периодической функции, а его период составляет $2$ пи. Берем отрезок $\left[0; 2\mathrm{\pi }\right]$ и смотрим, каким будет множество значений на нем.

$$\begin{gathered} y\text{'}=(\sin x{)}^{\text{'}}=\cos x \\ y\text{'}=0\iff \cos x=0\iff x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi k}, \mathrm{k}\in \mathrm{Z} \end{gathered}$$

В рамках $\left[0; 2\mathrm{\pi }\right]$ у функции будут точки экстремума $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ и $x=\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$. Подсчитаем, чему будут равны значения функции в них, а также на границах отрезка, после чего выберем самое большое и самое маленькое значение.

$$\begin{gathered} y\left(0\right)=\sin 0=0 \\ y\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}=1 \\ y\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)=\sin \frac{3\mathrm{\pi }}{2}=-1 \\ y\left(2\mathrm{\pi }\right)=\sin \left(2\mathrm{\pi }\right)=0\iff \\ \underset{\mathrm{x}\in \left[0; 2\mathrm{\pi }\right]}{\min }\sin \mathrm{x}=\sin \frac{3\mathrm{\pi }}{2}=-1, \underset{\mathrm{x}\in \left[0; 2\mathrm{\pi }\right]}{\max }\sin \mathrm{x}=\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}=1 \end{gathered}$$

Ответ: $E(\sin x)=\left[-1; 1\right]$.

Условие: определите область значения $y=3arc\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{5\mathrm{\pi }}{7}\right)-4$.

Решение

Нам известно, что отрезок от 0 до пи есть область значений арккосинуса. Иными словами, $E(arc\cos x)=\left[0; \mathrm{\pi }\right]$ или $0\le arc\cos x\le \mathrm{\pi }$. Мы можем получить функцию $arc\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{5\mathrm{\pi }}{7}\right)$ из арккосинуса, сдвинув и растянув ее вдоль оси $Ox$, но такие преобразования нам ничего не дадут. Значит, $0\le arc\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{5\mathrm{\pi }}{7}\right)\le \mathrm{\pi }$.

Функция $3arc\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{5\mathrm{\pi }}{7}\right)$ может быть получена из арккосинуса $arc\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{5\mathrm{\pi }}{7}\right)$ с помощью растяжения вдоль оси ординат, т.е. $0\le 3arc\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{5\mathrm{\pi }}{7}\right)\le 3\mathrm{\pi }$. Финалом преобразований является сдвиг вдоль оси $Oy$ на $4$ значения. В итоге получаем двойное неравенство:

$$\begin{gathered} 0-4\le 3arc\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{5\mathrm{\pi }}{7}\right)-4\le 3\mathrm{\pi }-4\iff \\ -4\le 3\arccos \left(\frac{\mathrm{x}}{3}+\frac{5\mathrm{\pi }}{7}\right)-4\le 3\mathrm{\pi }-4 \end{gathered}$$

Мы получили, что нужная нам область значений будет равна $E\left(y\right)=\left[-4; 3\mathrm{\pi }-4\right]$.

Ответ: $E\left(y\right)=\left[-4; 3\mathrm{\pi }-4\right]$.

Условие: вычислите, какова будет область значений функции $y=\frac{2}{\sqrt{2x-1}}+3$.

Решение

Перепишем функцию, заданную в условии, как $y=2·(2x-1{)}^{-\frac{1}{2}}+3$. Для степенной функции $y=x^{-\frac{1}{2}}$ область значений будет определена на промежутке $\left(0; +\infty \right)$, т.е. $x^{-\frac{1}{2}}>0$. В таком случае:

$$\begin{gathered} {\left(2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}>0\Rightarrow \\ 2·(2x-1{)}^{-\frac{1}{2}}>0\Rightarrow \\ 2·(2x-1{)}^{-\frac{1}{2}}+3>3 \end{gathered}$$

Значит, $E\left(y\right)=\left(3; +\infty \right)$.

Ответ: $E\left(y\right)=\left(3; +\infty \right)$.

Условие: дана функция $y=\left\{\begin{array}{l}2\sin \frac{x}{2}-4, x\le -3\\ \begin{array}{l}-1, -3<x\le 3\\ \frac{1}{x-3}, x>3\end{array}\end{array}\right.$. Вычислите область ее значений.

Решение

Данная функция является определенной для всех значений  $x$. Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных $-3$ и $3$:

$$\begin{gathered} \underset{x\to -3-0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -3}{\lim }\left(2\sin \frac{x}{2}-4\right)=2\sin \frac{-3}{2}-4=-2\sin \frac{3}{2}-4 \\ \underset{x\to -3+0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -3}{\lim }\left(1\right)=-1\Rightarrow \underset{x\to -3-0}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to -3+0}{\lim }f\left(x\right) \end{gathered}$$

Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента$-3$. При приближении к нему значения функции стремятся к $-2\sin \frac{3}{2}-4$, а при стремлении $x$ к $-3$ с правой стороны значения будут стремиться к$-1$.

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3-0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3-0}{\lim }(-1)=1 \\ \underset{x\to 3+0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3+0}{\lim }\frac{1}{x-3}=+\infty \end{gathered}$$

Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке $3$. Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к $-1$, при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.

Значит, вся область определения данной функции является разбитой на $3$ интервала $(-\infty ; -3], (-3; 3], (3; +\infty )$.

На первом из них у нас получилась функция $y=2\sin \frac{x}{2}-4$. Поскольку $-1\le \sin x\le 1$, получаем:

$$\begin{gathered} -1\le \sin \frac{x}{2}<1\Rightarrow \\ -2\le 2\sin \frac{x}{2}\le 2\Rightarrow \\ -6\le 2\sin \frac{x}{2}-4\le -2 \end{gathered}$$

Значит, на данном промежутке $(-\infty ; -3]$ множество значении функции – $[-6;2]$.

На полуинтервале $(-3; 3]$ получилась постоянная функция $y =-1$. Следовательно, все множество ее значений в данном случае будет сводится к одному числу $\left\{-1\right\}$.

На втором промежутке $\left(3; +\infty \right)$ у нас есть функция $y=\frac{1}{x-3}$. Она является убывающей, потому что $y\text{'}=\frac{-1}{(x-3{)}^2}<0$. Она будет убывать от плюс бесконечности до $0$, но самого $0$ не достигнет, потому что:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3+0}{\lim }\frac{1}{x-3}=\frac{1}{3+0-3}=\frac{1}{+0}=+\infty \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x-3}=\frac{1}{+\infty -3}=\frac{1}{+\infty }+0 \end{gathered}$$

Значит, множество значений исходной функции при $x > 3$ представляет собой множество $\left(0; +\infty \right)$. Теперь объединим полученные результаты: $E\left(y\right)=\left[-6; -2\right]\cup \left\{-1\right\}\cup \left(0; +\infty \right)$.

Ответ: $E\left(y\right)=\left[-6; -2\right]\cup \left\{-1\right\}\cup \left(0; +\infty \right)$.

Условие: есть функция $y=\frac{x^2-3}{e^x}$. Определите множество ее значений.

Решение

Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:

$y\text{'}={\left(\frac{x^2-3}{e^x}\right)}^{\text{'}}=\frac{2x{e}^x-e^x(x^2-3)}{e^{2x}}=\frac{-x^2+2x+3}{e^x}=-\frac{(x+1)(x-3)}{e^x}$

Мы знаем, что производная обратится в $0$, если $x=-1$ и $x=3$. Поместим эти две точки на ось и выясним, какие знаки будет иметь производная на получившихся интервалах.

Функция будет убывать на $(-\infty ; -1]\cup [3; +\infty )$ и возрастать на $[-1; 3]$. Точкой минимума будет $-1$, максимума $–3$.

Теперь найдем соответствующие значения функции:

$$\begin{gathered} y(-1)=\frac{{\left(-1\right)}^2-3}{e^{-1}}=-2e \\ y\left(3\right)=\frac{3^2-3}{e^3}=6e^{-3} \end{gathered}$$

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.

На нем видно, что значения функции будут убывать от плюс бесконечности до $-2e$ тогда, когда аргумент меняется от минус бесконечности до $-1$. Если же он изменяется от $3$ до плюс бесконечности, то значения будут убывать от $6e^{-3}$ до $0$, но при этом $0$ достигнут не будет.

Таким образом, $E\left(y\right)=[-2e; +\infty )$.

Ответ:  $E\left(y\right)=[-2e; +\infty )$