Наибольший общий делитель (НОД): определение, примеры и свойства

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Эта статья посвящена такому вопросу, как нахождение наибольшего общего делителя. Сначала мы объясним, что это такое, и приведем несколько примеров, введем определения наибольшего общего делителя $2, 3$ и более чисел, после чего остановимся на общих свойствах данного понятия и докажем их.

Что такое общие делители

Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.

В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.

Определение 1

Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.

Пример 1

Вот примеры такого делителя: тройка будет общим делителем для чисел $- 12$ и $9$ , поскольку верны равенства $9 = 3 \cdot 3$ и $- 12 = 3 \cdot (- 4)$ . У чисел $3$ и $- 12$ есть и другие общие делители, такие, как $1, - 1$ и $- 3$ . Возьмем другой пример. У четырех целых чисел $3, - 11, - 8$ и $19$ будет два общих делителя: $1$ и $- 1$ .

Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.

Также отметим, что если у нас есть общий для нескольких чисел делитель $b$ , то те же числа можно разделить и на противоположное число, то есть на $- b$ . В принципе, мы можем взять лишь положительные делители, тогда все общие делители также будут больше $0$ . Такой подход также можно использовать, однако совсем игнорировать отрицательные числа не следует.

Что такое наибольший общий делитель (НОД)

Согласно свойствам делимости, если $b$ является делителем целого числа $a$ , которое не равно 0, то модуль числа $b$ не может быть больше, чем модуль $a$ , следовательно, любое число, не равное $0$ , имеет конечное число делителей. Значит, число общих делителей нескольких целых чисел, хотя бы одно из которых отличается от нуля, также будет конечным, и из всего их множества мы всегда можем выделить самое большое число (ранее мы уже говорили о понятии наибольшего и наименьшего целого числа, советуем вам повторить данный материал).

В дальнейших рассуждениях мы будем считать, что хотя бы одно из множества чисел, для которых нужно найти наибольший общий делитель, будет отлично от $0$ . Если они все равны $0$ , то их делителем может быть любое целое число, а поскольку их бесконечно много, выбрать наибольшее мы не сможем. Иначе говоря, найти наибольший общий делитель для множества чисел, равных $0$ , нельзя.

Переходим к формулировке основного определения.

Определение 2

Наибольшим общим делителем нескольких чисел является самое большое целое число, которое делит все эти числа.

На письме наибольший общий делитель чаще всего обозначается аббревиатурой НОД. Для двух чисел его можно записать как НОД $(a, b)$ .

Пример 2

Какой можно привести пример НОД для двух целых чисел? Например, для $6$ и $- 15$ это будет $3$ . Обоснуем это. Сначала запишем все делители шести: $\pm 6, \pm 3, \pm 1$ , а потом все делители пятнадцати: $\pm 15, \pm 5, \pm 3$ и $\pm 1$ . После этого мы выбираем общие: это $- 3, - 1, 1$ и $3$ . Из них надо выбрать самое большое число. Это и будет $3$ .

Для трех и более чисел определение наибольшего общего делителя будет почти таким же.

Определение 3

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Для чисел $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ делитель удобно обозначать как НОД $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ . Само значение делителя записывается как НОД $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = b$ .

Пример 3

Приведем примеры наибольшего общего делителя нескольких целых чисел: $12, - 8, 52, 16$ . Он будет равен четырем, значит, мы можем записать, что НОД $(12, - 8, 52, 16) = 4$ .

Проверить правильность данного утверждения можно с помощью записи всех делителей этих чисел и последующего выбора наибольшего из них.

На практике часто встречаются случаи, когда наибольший общий делитель равен одному из чисел. Это происходит тогда, когда на данное число можно разделить все остальные числа (в первом пункте статьи мы привели доказательство этого утверждения).

Пример 4

Так, наибольший общий делитель чисел $60, 15$ и $- 45$ равен $15$ , поскольку пятнадцать делится не только на $60$ и $- 45$ , но и на само себя, и большего делителя для всех этих чисел не существует.

Особый случай составляют взаимно простые числа. Они представляют собой целые числа с наибольшим общим делителем, равным $1$ .

Основные свойства НОД и алгоритм Евклида

У наибольшего общего делителя есть некоторые характерные свойства. Сформулируем их в виде теорем и докажем каждое из них.

Отметим, что данные свойства сформулированы для целых чисел больше нуля, а делители мы рассмотрим только положительные.

Определение 4

Числа $a$ и $b$ имеют наибольший общий делитель, равный НОД для $b$ и $a$ , то есть НОД $(a, b)$ $=$ НОД $(b, a)$ . Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Данное свойство следует из самого определения НОД и не нуждается в доказательствах.

Определение 5

Если число $a$ можно разделить на число $b$ , то множество общих делителей этих двух чисел будет аналогично множеству делителей числа $b$ , то есть НОД $(a, b) = b$ .

Докажем это утверждение.

Доказательство 1

Если у чисел $a$ и $b$ есть общие делители, то на них можно разделить любое из них. В то же время если $a$ будет кратным b, то любой делитель $b$ будет делителем и для $a$ , поскольку у делимости есть такое свойство, как транзитивность. Значит, любой делитель $b$ будет общим для чисел $a$ и $b$ . Это доказывает, что если мы можем разделить $a$ на $b$ , то множество всех делителей обоих чисел совпадет с множеством делителей одного числа $b$ . А поскольку наибольший делитель любого числа есть само это число, то наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ будет также равен $b$ , т.е. НОД $(a, b) = b$ . Если $a = b$ , то НОД $(a, b) =$ НОД $(a, a)$ $=$ НОД $(b, b) = a = b$ , например, НОД $(132, 132) = 132$ .

Используя это свойство, мы можем найти наибольший общий делитель двух чисел, если одно из них можно разделить на другое. Такой делитель равен одному из этих двух чисел, на которое можно разделить второе число. К примеру, НОД $(8, 24) = 8$ , так как $24$ есть число, кратное восьми.

Определение 6

Если верно равенство $a = b \cdot q + c$ (здесь все переменные являются целыми числами), то все общие делители двух чисел $a$ и $b$ будут такими же, как и у чисел $b$ и $c$ , то есть НОД $(a, b) =$ НОД $(b, c)$ .

Доказательство 2

Попробуем доказать данное свойство. У нас изначально есть равенство $a = b \cdot q + c$ , и любой общий делитель $a$ и $b$ будет делить и $c$ , что объясняется соответствующим свойством делимости. Поэтому любой общий делитель $b$ и $c$ будет делить $a$ . Значит, множество общих делителей $a$ и $b$ совпадет с множеством делителей $b$ и $c$ , в том числе и наибольшие из них, значит, равенство НОД $(a, b) =$ НОД $(b, c)$ справедливо.

Определение 7

Следующее свойство получило название алгоритма Евклида. С его помощью можно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, а также доказать другие свойства НОД.

Перед тем, как сформулировать свойство, советуем вам повторить теорему, которую мы доказывали в статье о делении с остатком. Согласно ей, делимое число $a$ можно представить в виде $b \cdot q + r$ , причем $b$ здесь является делителем, $q$ – некоторым целым числом (его также называют неполным частным), а $r$ – остатком, который удовлетворяет условию $0 \leq r \leq |b|$ .

Допустим, у нас есть два целых числа больше $0$ , для которых будут справедливы следующие равенства:

$a = b \cdot q_{1} + r_{1}, 0 < r_{1} < b b = r_{1} \cdot q_{2} + r_{2}, 0 < r_{2} < r_{1} r_{1} = r_{2} \cdot q_{3} + r_{3}, 0 < r_{3} < r_{2} r_{2} = r_{3} \cdot q_{4} + r_{4}, 0 < r_{4} < r_{3} ⋮ r_{k - 2} = r_{k - 1} \cdot q_{k} + r_{k}, 0 < r_{k} < r_{k - 1} r_{k - 1} = r_{k} \cdot q_{k + 1}$

Эти равенства заканчиваются тогда, когда $r_{k + 1}$ становится равен $0$ . Это случится обязательно, поскольку последовательность $b > r_{1} > r_{2} > r_{3}, \dots$ представляет собой ряд убывающих целых чисел, который может включать в себя только конечное их количество. Значит, $r_{k}$ является наибольшим общим делителем $a$ и $b$ , то есть, $r_{k} =$ НОД $(a, b)$ .

В первую очередь нам надо доказать, что $r_{k}$ – это общий делитель чисел $a$ и $b$ , а после этого – то, что $r_{k}$ является не просто делителем, а именно наибольшим общим делителем двух данных чисел.

Просмотрим список равенств, приведенный выше, снизу вверх. Согласно последнему равенству,
$r_{k - 1}$ можно разделить на $r_{k}$ . Исходя из этого факта, а также предыдущего доказанного свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что $r_{k - 2}$ можно разделить на $r_{k}$ , так как
$r_{k - 1}$ делится на $r_{k}$ и $r_{k}$ делится на $r_{k}$ .

Третье снизу равенство позволяет нам сделать вывод, что $r_{k - 3}$ можно разделить на $r_{k}$ , и т.д. Второе снизу – что $b$ делится на $r_{k}$ , а первое – что a делится на $r_{k}$ . Из всего этого заключаем, что $r_{k}$ – общий делитель $a$ и $b$ .

Теперь докажем, что $r_{k} =$ НОД $(a, b)$ . Что для этого нужно сделать? Показать, что любой общий делитель $a$ и $b$ будет делить $r_{k}$ . Обозначим его $r_{0}$ _.

Просмотрим тот же список равенств, но уже сверху вниз. Исходя из предыдущего свойства, можно заключить, что $r_{1}$ делится на $r_{0}$ , значит, согласно второму равенству $r_{2}$ делится на $r_{0}$ . Идем по всем равенствам вниз и из последнего делаем вывод, что $r_{k}$ делится на $r_{0}$ . Следовательно, $r_{k} =$ НОД $(a, b)$ .

Рассмотрев данное свойство, заключаем, что множество общих делителей $a$ и $b$ аналогично множеству делителей НОД этих чисел. Это утверждение, которое является следствием из алгоритма Евклида, позволит нам вычислить все общие делители двух заданных чисел.

Перейдем к другим свойствам.

Определение 8

Если $a$ и $b$ являются целыми числами, не равными $0$ , то должны существовать два других целых числа $u_{0}$ и $v_{0}$ , при которых будет справедливым равенство НОД $(a, b) = a \cdot u_{0} + b \cdot v_{0}$ .

Равенство, приведенное в формулировке свойства, является линейным представлением наибольшего общего делителя $a$ и $b$ . Оно носит название соотношения Безу, а числа $u_{0}$ и $v_{0}$ называются коэффициентами Безу.

Доказательство 3

Докажем данное свойство. Запишем последовательность равенств по алгоритму Евклида:

Первое равенство говорит нам о том, что $r_{1} = a - b \cdot q_{1}$ _. Обозначим $1 = s_{1}$ и $- q_{1} = t_{1}$ и перепишем данное равенство в виде $r_{1} = s_{1} \cdot a + t_{1} \cdot b$ . Здесь числа $s_{1}$ и $t_{1}$ будут целыми. Второе равенство позволяет сделать вывод, что $r_{2} = b - r_{1} \cdot q_{2} = b - (s_{1} \cdot a + t_{1} \cdot b) \cdot q_{2} = - s_{1} \cdot q_{2} \cdot a + (1 - t_{1} \cdot q_{2}) \cdot b$ . Обозначим $- s_{1} \cdot q_{2} = s_{2}$ и $1 - t_{1} \cdot q_{2} = t_{2}$ и перепишем равенство как $r_{2} = s_{2} \cdot a + t_{2} \cdot b$ , где $s_{2}$ и $t_{2}$ также будут целыми. Это объясняется тем, что сумма целых чисел, их произведение и разность также представляют собой целые числа. Точно таким же образом получаем из третьего равенства $r_{3} = s_{3} \cdot a + t_{3} \cdot b$ , из следующего $r_{4} = s_{4} \cdot a + t_{4} \cdot b$ и т.д. В конце заключаем, что $r_{k} = s_{k} \cdot a + t_{k}$ ·b при целых $s_{k}$ и $t_{k}$ . Поскольку $r_{k} =$ НОД $(a, b)$ , обозначим $s_{k} = u_{0}$ и $t_{k} = v_{0}$ , В итоге мы можем получить линейное представление НОД в требуемом виде: НОД $(a, b) = a \cdot u_{0} + b \cdot v_{0}$ .

Определение 9

НОД $(m \cdot a, m \cdot b) = m \cdot$ НОД $(a, b)$ при любом натуральном значении $m$ .

Доказательство 4

Обосновать это свойство можно так. Умножим на число m обе стороны каждого равенства в алгоритме Евклида и получим, что НОД $(m \cdot a, m \cdot b) = m \cdot r_{k}$ , а $r_{k}$ – это НОД $(a, b)$ . Значит, НОД $(m \cdot a, m \cdot b) = m$ ·НОД $(a, b)$ . Именно это свойство наибольшего общего делителя используется при нахождении НОД методом разложения на простые множители.

Определение 10

Если у чисел $a$ и $b$ есть общий делитель $p$ , то НОД $(a : p, b : p) =$ НОД $(a, b) : p$ . В случае, когда $p =$ НОД $(a, b)$ получим НОД ( $a :$ НОД $(a, b)$ , $b :$ НОД ( $a, b$ ) $= 1$ , следовательно, числа $a :$ НОД $(a, b)$ и $b :$ НОД $(a, b)$ являются взаимно простыми.

Поскольку $a = p \cdot (a : p)$ и $b = p \cdot (b : p)$ , то, основываясь на предыдущем свойстве, можно создать равенства вида НОД $(a, b) =$ НОД $(p \cdot (a : p), p \cdot (b : p)) = p$ ·НОД $\sqrt{(a : p, b : p),}$ среди которых и будет доказательство данного свойства. Это утверждение мы используем, когда приводим обыкновенные дроби к несократимому виду.

Определение 11

Наибольшим общим делителем $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ будет число $d_{k},$ которое можно найти, последовательно вычисляя НОД $(a_{1}, a_{2}) = d_{2}$ , НОД $(d_{2}, a_{3}) = d_{3}$ , НОД $(d_{3}, a_{4}) = d_{4}, \dots$ , НОД $(d_{k - 1}, a_{k}) = d_{k}$ .

Это свойство полезно при нахождении наибольшего общего делителя трех и более чисел. С помощью него можно свести это действие к операциям с двумя числами. Его основой является следствие из алгоритма Евклида: если множество общих делителей $a_{1}, a_{2}$ и $a_{3}$ совпадает с множеством $d_{2}$ и $a_{3}$ , то оно совпадет и с делителями $d_{3}$ . Делители чисел $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ и $a_{4}$ совпадут с делителями $d_{3}$ , значит, они совпадут и с делителями $d_{4}$ , и т.д. В конце мы получим, что общие делители чисел $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ совпадут с делителями $d_{k}$ , а поскольку наибольшим делителем числа $d_{k}$ будет само это число, то НОД $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}) = d_{k}$ .

Это все, что мы хотели бы рассказать о свойствах наибольшего общего делителя.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.