Взаимно обратные числа, нахождение обратного числа.

Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.

Взаимно обратные числа. Определение

Если $a·b=1$, то можно сказать, что число $a$ обратно числу $b$, так же как и число $b$ обратно числу $a$.

Самый простой пример взаимно обратных чисел - две единицы. Действительно, $1·1=1$, поэтому $a=1$ и $b=1$ - взаимно обратные числа. Другой пример - числа $3$ и $\frac{1}{3}$, $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{3}{2}$,  $\frac{\sqrt{6}}{13}$ и $\frac{13}{\sqrt{6}}$, ${\log }_{3}17$ и ${\log }_{17}3$. Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел $2$ и $\frac{2}{3}$, то числа не являются взаимно обратными.

Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел - натуральных, целых, действительных и комплексных.

Как найти число, обратное данному

Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно $a$, то обратное ему число запишется в виде $\frac{1}{a}$, или $a^{-1}$. Действительно, $a·\frac{1}{a}=a·a^{-1}=1$.

Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.

Число, обратное обыкновенной дроби

Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$ - это дробь $\frac{b}{a}$. Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.

Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби $\frac{28}{57}$ обратным числом будет дробь $\frac{57}{28}$, а для дроби $\frac{789}{256}$ - число  $\frac{256}{789}$.

Число, обратное натуральному числу

Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число $a$ в виде обыкновенной дроби $\frac{a}{1}$. Тогда обратным ему числом будет число $\frac{1}{a}$. Для натурального числа $3$ обратным ему числом будет дробь $\frac{1}{3}$, для числа $666$ обратное число равно $\frac{1}{666}$, и так далее.

Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.

Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует. 

Число, обратное смешанному числу

Смешанное число имеем вид $a\frac{b}{c}$. Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.

Например, найдем обратное число для $7\frac{2}{5}$. Сначала представим $7\frac{2}{5}$ в виде неправильной дроби: $7\frac{2}{5}=\frac{\left(7·5\right)+2}{5}=\frac{37}{5}$.

Для неправильной дроби $\frac{37}{5}$ обратным числом будет дробь $\frac{5}{37}$.

Число, обратное десятичной дроби

Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее. 

Например, есть дробь $5,128$. Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: $5,128=5\frac{128}{1000}=5\frac{32}{250}=5\frac{16}{125}=\frac{641}{125}$. Для полученной дроби обратным числом будет дробь $\frac{125}{641}$.

Рассмотрим еще один пример.

Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби $3,6025635789...$ обратное число будет иметь вид $\frac{1}{3,6025635789...}$.

Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.

К примеру, обратным числом для $\frac{\mathrm{\pi }+\sqrt[3]{3}}{80}$ будет $\frac{80}{\mathrm{\pi }+\sqrt[3]{3}}$, а для числа $8+{е}^2+е$ обратным числом будет дробь $\frac{1}{8+{е}^2+е}$.

Взаимно обратные числа с корнями

Если вид двух чисел отличен от $a$ и $\frac{1}{a}$, то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе. 

Обратимся к практике.

Рассмотрим еще один пример.

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, равное какой-то степени числа $a$. Другими словами, число $a$, возведенное в степень $n$. Обратным числу $a^n$ будет число  $a^{-n}$. Проверим это. Действительно: $a^n·a^{-n}=\frac{a^n}{1}·\frac{1}{a^n}=1$.

Взаимно обратные числа с логарифмами

Для логарифма числа $a$ по основанию $b$ обратным является число, равное логарифму числа $b$ по основанию $a$. 

${\log }_{a}b$ и ${\log }_{b}a$ - взаимно обратные числа.

Проверим это. Из свойств логарифма следует, что ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$, значит ${\log }_{a}b·{\log }_{b}a$.

Число, обратное комплексному числу

Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных. 

Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде $z=x+iy$. Числом, обратным данному, будет дробь 

$\frac{1}{x+iy}$.  Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на $x-iy$.

Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:

$z=r·\left(\cos \phi +i·\sin \phi \right)$

$z=r·e^{i·\phi }$

Соответственно, обратное число будет иметь вид:

$\frac{1}{r}\left(\cos (-\phi )+i·\sin (-\phi \right))$

или

$\frac{1}{r}{e}^{i(-\phi )}$

Убедимся в этом:$$

$$\begin{gathered} r·\left(\cos \phi +i·\sin \phi \right)·\frac{1}{r}\left(\cos (-\phi )+i·\sin (-\phi )\right)=\frac{r}{r}\left({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi \right)=1 \\ r·e^{i·\phi }·\frac{1}{r}{e}^{i·(-\phi )}=\frac{r}{r}{e}^0=1 \end{gathered}$$

Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.

Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел $a$ и $b$ среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{a·b}$

Если вместо числа $b$ взять число, обратное $a$, неравенство примет вид:

$$\begin{gathered} \frac{a+{\displaystyle \frac{1}{a}}}{2}\ge \sqrt{a·\frac{1}{a}} \\ a+\frac{1}{a}\ge 2 \end{gathered}$$

Что и требовалось доказать.

Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.