Умножение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.

Как умножить одну обыкновенную дробь на другую

Запишем сначала основное правило:

Определение 1

Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей $a / b$ и $c / d$ это можно выразить как $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ .

Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит $1$ кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{8}$ числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из $32$ прямоугольников (потому что $8 \cdot 4 = 32$ ). Соответственно, площадь каждого из них будет равна $\frac{1}{32}$ от площади всей фигуры, т.е. $\frac{1}{32}$ кв. единицы.

Далее нам надо выделить цветом часть исходного квадрата так, как это сделано на рисунке:

Как умножить одну обыкновенную дробь на другую

У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными $\frac{5}{8}$ числовой единицы и $\frac{3}{4}$ числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна $\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{4}$ кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их $15$ , значит, общая площадь составляет $\frac{15}{32}$ квадратных единиц.

Поскольку $5 \cdot 3 = 15$ и $8 \cdot 4 = 32$ , мы можем записать следующее равенство:

$\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 4} = \frac{15}{32}$

Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ . Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.

Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.

Пример 1

Умножьте $\frac{7}{11}$ на $\frac{9}{8}$ .

Решение

Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив $7$ на $9$ . У нас получилось $63$ . Затем вычислим произведение знаменателей и получим: $11 \cdot 8 = 88$ . Составим их двух чисел ответ: $\frac{63}{88}$ .

Все решение можно записать так:

$\frac{7}{11} \cdot \frac{9}{8} = \frac{7 \cdot 9}{11 \cdot 8} = \frac{63}{88}$

Ответ: $\frac{7}{11} \cdot \frac{9}{8} = \frac{63}{88}$ .

Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.

Пример 2

Вычислите произведение дробей $\frac{4}{15}$ и $\frac{55}{6}$ .

Решение

Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:

$\frac{4}{15} \cdot \frac{55}{6} = \frac{4 \cdot 55}{15 \cdot 6} = \frac{220}{90}$

Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на $10$ .

Выполним сокращение дроби: $\frac{220}{90}$ НОД $(220, 90) = 10$ , $\frac{220}{90} = \frac{220 : 10}{90 : 10} = \frac{22}{9}$ . В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: $\frac{22}{9} = 2 \frac{4}{9}$ .

Ответ: $\frac{4}{15} \cdot \frac{55}{6} = 2 \frac{4}{9}$ .

Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду $\frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ . Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.

Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.

Как умножить одну обыкновенную дробь на другую — Пример 3

Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом

Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.

Определение 2

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби $\frac{a}{b}$ на натуральное число $n$ можно записать в виде формулы $\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$ .

Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:

$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{1} = \frac{a \cdot n}{b \cdot 1} = \frac{a \cdot n}{b}$

Поясним нашу мысль конкретными примерами.

Пример 4

Вычислите произведение $\frac{2}{27}$ на $5$ .

Решение

В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим $10$ . В силу правила, указанного выше, мы получим в результате $\frac{10}{27} .$ Все решение приведено в этой записи:

$\frac{2}{27} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 5}{27} = \frac{10}{27}$

Ответ: $\frac{2}{27} \cdot 5 = \frac{10}{27}$

Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.

Пример 5

Условие: вычислите произведение $8$ на $\frac{5}{12}$ .

Решение

По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что $\frac{5}{12} \cdot 8 = \frac{5 \cdot 8}{12} = \frac{40}{12}$ . Итоговая дробь имеет признаки делимости на $2$ , поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:

НОК $(40, 12) = 4$ , значит, $\frac{40}{12} = \frac{40 : 4}{12 : 4} = \frac{10}{3}$

Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: $\frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ .

В этой записи можно видеть все решение целиком: $\frac{5}{12} \cdot 8 = \frac{5 \cdot 8}{12} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$ .

Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.

Ответ: $\frac{5}{12} \cdot 8 = 3 \frac{1}{3}$ .

Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:

$\frac{a}{b} \cdot n = n \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b}$

Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей

Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.

Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.

Покажем на примере, как это делается.

Пример 6

Умножьте четыре обыкновенные дроби $\frac{1}{20}, \frac{12}{5}, \frac{3}{7}$ и $\frac{5}{8}$ .

Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится $\frac{1}{20} \cdot \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{8}$ . Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: $\frac{1}{20} \cdot \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 5}{20 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 8}$ .

Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.

$\frac{1 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 5}{20 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{1 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 3 \cdot 5}{(2 \cdot 2 \cdot 5) \cdot 5 \cdot 7 (2 \cdot 2 \cdot 2)} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{9}{280}$

Ответ: $\frac{1 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 5}{20 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{9}{280}$ .

Пример 7

Перемножьте $5$ чисел $\frac{7}{8} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \frac{5}{36} \cdot 10$ .

Решение

Для удобства мы можем сгруппировать дробь $\frac{7}{8}$ с числом $8$ , а число $12$ с дробью $\frac{5}{36}$ , поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
$\frac{7}{8} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \frac{5}{36} \cdot 10 = (\frac{7}{8}) \cdot 8 \cdot (12 \cdot \frac{5}{36}) \cdot 10 = \frac{7 \cdot 8}{8} \cdot \frac{12 \cdot 5}{36} \cdot 10 = \frac{7}{1} \cdot \frac{(2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} \cdot 10 = = 7 \cdot \frac{5}{3} \cdot 10 = \frac{7 \cdot 5 \cdot 10}{3} = \frac{350}{3} = 116 \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{7}{8} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \frac{5}{36} \cdot 10 = 116 \frac{2}{3}$ .

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.