Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням  и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби - $a^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$. Как записать такое выражение в виде корня?

Ответ вытекает из самого определения степени! 

В соответствии с определением, степень $a^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$ можно представить в виде корня $\sqrt[n]{a^{ \; \; \; m \; \; }}$.

Например: $3^{ \; \; \frac{2}{5} \; } = \sqrt[5]{3^{ \; \; \; 2 \; \; }} , { \; \; \left( \; \; 1 \; \; \frac{2}{3} \; \; \right) \; }^{ \; \; - \; \; \frac{3}{4} \; } = \sqrt[4]{{ \; \; \; \left( \; \; \; 1 \; \; \; \frac{2}{3} \; \; \; \right) \; \; }^{ \; \; \; - \; \; \; 3 \; \; }}$.

Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ;   m ∈ ℤ ;   n ∈ ℕ .

Так, выражение $- 8^{ \; \; \frac{1}{3} \; }$ нельзя представить в виде $\sqrt[3]{ \; \; - \; \; 8^{ \; \; \; \; 1 \; \; \; } \; }$, так как запись $- 8^{ \; \; \frac{1}{3} \; }$ попросту не имеет смысла - степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень $\sqrt[3]{ \; \; - \; \; 8^{ \; \; \; \; 1 \; \; \; } \; }$ имеет смысл.

Переход от  степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее - ОДЗ) исходных выражений в основании степени. 

Например, выражение ${ \; \; ( \; \; x^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; + \; \; \frac{2}{ \; \; \; \; x \; \; \; \; + \; \; \; \; 1 \; \; \; } \; \; - \; \; 4 \; \; ) \; }^{ \; \; \frac{1}{2} \; }$ можно представить в виде квадратного корня $\sqrt{ \; \; \; ( \; \; x^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; + \; \; \frac{2}{ \; \; \; \; x \; \; \; \; + \; \; \; \; 1 \; \; \; } \; \; - \; \; 4 \; \; ) \; }$.Выражение в степени ${ \; \; ( \; \; x^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; + \; \; x \; \; · \; \; y \; \; · \; \; z \; \; - \; \; z^{ \; \; \; \; 3 \; \; \; } \; \; ) \; }^{ \; \; - \; \; \frac{7}{3} \; }$ переходит в выражение $\sqrt[3]{{ \; \; \; ( \; \; \; x^{ \; \; \; \; \; 2 \; \; \; \; } \; \; \; + \; \; \; x \; \; \; · \; \; \; y \; \; \; · \; \; \; z \; \; \; - \; \; \; z^{ \; \; \; \; \; 3 \; \; \; \; } \; \; \; ) \; \; }^{ \; \; \; - \; \; \; 7 \; \; }}$ для всех $x , y , z$ из ОДЗ данного выражения.

Как представить корень в виде степени?

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

$\sqrt[n]{a^{ \; \; \; m \; \; }} = a^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$

Опять же, переход очевиден для положительных чисел $a$. Например, $\sqrt[4]{7^{ \; \; \; 6 \; \; }} = 7^{ \; \; \frac{6}{4} \; }$, или$\sqrt[3]{{ \; \; \; \left( \; \; \; \frac{2}{7} \; \; \; \right) \; \; }^{ \; \; \; - \; \; \; 5 \; \; }} = { \; \; \left( \; \; \frac{2}{7} \; \; \right) \; }^{ \; \; - \; \; \frac{5}{3} \; }$.

Для отрицательных $a$ корни имеют смысл. Например $\sqrt[6]{{ \; \; \; ( \; \; \; - \; \; \; 4 \; \; \; ) \; \; }^{ \; \; \; 2 \; \; }}$, $\sqrt[3]{ \; \; - \; \; 2 \; }$. Однако, представить эти корни в виде степеней  ${ \; \; ( \; \; - \; \; 4 \; \; ) \; }^{ \; \; \frac{2}{6} \; }$ и ${ \; \; ( \; \; - \; \; 2 \; \; ) \; }^{ \; \; \frac{1}{3} \; }$ нельзя.  

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования  выражения $\sqrt[6]{{ \; \; \; ( \; \; \; - \; \; \; 4 \; \; \; ) \; \; }^{ \; \; \; 2 \; \; }}$.

$\sqrt[6]{{ \; \; \; ( \; \; \; - \; \; \; 4 \; \; \; ) \; \; }^{ \; \; \; 2 \; \; }} = \sqrt[6]{ \; \; { \; \; \; \; ( \; \; \; \; - \; \; \; \; 1 \; \; \; \; ) \; \; \; }^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; \; · \; \; 4^{ \; \; \; \; 2 \; \; \; } \; } = \sqrt[6]{4^{ \; \; \; 2 \; \; }}$.

Так как $4 > 0$, можно записать: 

$\sqrt[6]{4^{ \; \; \; 2 \; \; }} = 4^{ \; \; \frac{2}{6} \; }$.

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

$\sqrt[ \; \; 2 \; \; m \; \; + \; \; 1 \; ]{ \; \; - \; \; a \; } = - \sqrt[ \; \; 2 \; \; m \; \; + \; \; 1 \; ]{a}$.

Тогда выражение $\sqrt[3]{ \; \; - \; \; 2 \; }$ примет вид:

$\sqrt[3]{ \; \; - \; \; 2 \; } = - \sqrt[3]{2} = - 2^{ \; \; \frac{1}{3} \; }$.

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании. 

Обозначим буквой $A$ некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }}$ в виде $A^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$. Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение $\sqrt[3]{{ \; \; \; ( \; \; \; х \; \; \; - \; \; \; 3 \; \; \; ) \; \; }^{ \; \; \; 2 \; \; }}$, основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде ${ \; \; ( \; \; x \; \; - \; \; 3 \; \; ) \; }^{ \; \; \frac{2}{3} \; }$. Такая замена возможна только при $x - 3 \ge 0$, а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных $a$ формула $\sqrt[n]{a^{ \; \; \; m \; \; }} = a^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$ не имеет смысла.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }} = A^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$ является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }} = A^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$ нередко возникают ошибки. 

Чтобы правильно перейти от корня $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }}$ к степени $A^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$, необходимо соблюдать несколько пунктов:

• В случае, если число $m$ - целое и нечетное, а $n$ - натуральное и четное, то формула  $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }} = A^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$ справедлива на всей ОДЗ переменных.
• Если $m$ - целое и нечетное, а $n$ - натуральное и нечетное,то выражение $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }}$ можно заменить:
   - на $A^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$ для всех значений переменных, при которых $A \ge 0$;
   - на $- \; ( \; - \; A^{ \; \; \; \frac{m}{n} \; \; } \; )$ для  для всех значений переменных, при которых $A < 0$;
• Если  $m$ - целое и четное, а $n$ - любое натуральное число, то $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }}$ можно заменить на ${ \; \; \left| \; \; A \; \; \right| \; }^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$.

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Вернемся к выражению $\sqrt[3]{{ \; \; \; ( \; \; \; х \; \; \; - \; \; \; 3 \; \; \; ) \; \; }^{ \; \; \; 2 \; \; }}$. Здесь $m = 2$ - целое и четное число, а $n = 3$ - натуральное число. Значит, выражение $\sqrt[3]{{ \; \; \; ( \; \; \; х \; \; \; - \; \; \; 3 \; \; \; ) \; \; }^{ \; \; \; 2 \; \; }}$ правильно будет записать в виде:

$\sqrt[3]{{ \; \; \; ( \; \; \; х \; \; \; - \; \; \; 3 \; \; \; ) \; \; }^{ \; \; \; 2 \; \; }} = { \; \; | \; \; x \; \; - \; \; 3 \; \; | \; }^{ \; \; \frac{2}{3} \; }$.

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число $m$ - целое и нечетное, а $n$ - натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }}$ значение $A$ положительно или неотрицательно (при $m > 0$). Именно поэтому  $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }} = A^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$.

Во втором варианте, когда  $m$ - целое, положительное и нечетное, а $n$ - натуральное и нечетное, значения $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }}$ разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых $A$ неотрицательно, $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }} = \sqrt[n]{{ \; \; \; \left| \; \; \; A \; \; \; \right| \; \; }^{ \; \; \; m \; \; }} = { \; \; \left| \; \; A \; \; \right| \; }^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$. Для переменных, при которых $A$ отрицательно, получаем $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }} = \sqrt[n]{{ \; \; \; ( \; \; \; - \; \; \; \; \; \; \; \left| \; \; \; \; A \; \; \; \; \right| \; \; \; \; \; \; ) \; \; }^{ \; \; \; m \; \; }} = \sqrt[n]{ \; \; { \; \; \; \; ( \; \; \; \; - \; \; \; \; 1 \; \; \; \; ) \; \; \; }^{ \; \; \; \; m \; \; \; } \; \; · \; \; { \; \; \; \; \left| \; \; \; \; A \; \; \; \; \right| \; \; \; }^{ \; \; \; \; m \; \; \; } \; } = \sqrt[n]{ \; \; - \; \; { \; \; \; \; \left| \; \; \; \; A \; \; \; \; \right| \; \; \; }^{ \; \; \; \; m \; \; \; } \; } = - \sqrt[n]{{ \; \; \; \left| \; \; \; A \; \; \; \right| \; \; }^{ \; \; \; m \; \; }} = - { \; \; \left| \; \; A \; \; \right| \; }^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$.

Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда $m$ - целое и четное, а $n$ - любое натуральное число. Если значение $A$положительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }} = \sqrt[n]{{ \; \; \; \left| \; \; \; A \; \; \; \right| \; \; }^{ \; \; \; m \; \; }} = { \; \; \left| \; \; A \; \; \right| \; }^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$. Для отрицательных $A$ получаем $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }} = \sqrt[n]{{ \; \; \; ( \; \; \; - \; \; \; \; \; \; \; \left| \; \; \; \; A \; \; \; \; \right| \; \; \; \; \; \; ) \; \; }^{ \; \; \; m \; \; }} = \sqrt[n]{ \; \; { \; \; \; \; ( \; \; \; \; - \; \; \; \; 1 \; \; \; \; ) \; \; \; }^{ \; \; \; \; m \; \; \; } \; \; · \; \; { \; \; \; \; \left| \; \; \; \; A \; \; \; \; \right| \; \; \; }^{ \; \; \; \; m \; \; \; } \; } = \sqrt[n]{{ \; \; \; \left| \; \; \; A \; \; \; \right| \; \; }^{ \; \; \; m \; \; }} = { \; \; \left| \; \; A \; \; \right| \; }^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$.

Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать $\sqrt[n]{A^{ \; \; \; m \; \; }} = { \; \; \left| \; \; A \; \; \right| \; }^{ \; \; \frac{m}{n} \; }$.